Hensel's lemma

Question

$x^3+8x^2-x-1$ in $\mathbb{Z}/121\mathbb{Z}$ de ki kökleri nelerdir?

Answer 1

1) ilk olarak $\mod 11$'deki cozumu $4$ ile $5$. (Daha kisa bir yolu var mi bilmiyorum ama elle koyup yaptim. El dedigim bilgisayar programi, lakin elle teker teker deneme ile ayni kapiya cikiyor.)

2) Hensel onsavini kullanacagimiz yer burasi.

ilk olarak bakmamiz gereken: $3x^2+16x-1 \mod 11$'de yani turevinde $4$ ile $5$ sifir mi degil mi.

durum 1: ($4$ icin) turevindeki degeri $1$ yani sifir yapmiyor, bu demek ki bir adet cozumu var ve bu cozum tek.  O zaman bu cozum $4+11k$ seklinde oyle ki $k \equiv (-1)^{-1}\frac{187}{11} \mod 11$. Kisacasi cozumumuz: $4+5\cdot11=59$.

durum 2: ($5$ icin) turevundeki deger sifir yapiyor.Bu demek oluyor ki ya $5+11k$'larin hepsi cozum ya da hic cozumu yok. Bunu anlamak icin en basitinden $5$'i deneyebiliriz, coum degilmis. Demek ki bu durum icin hic cozum yok.

3) Tek cozumumuz $59$ imis.

4) bir adim ilerisine de tasiyabiliriz: $\mod 1331$ ya da daha ilerisine, kisa suruyor zaten, cunku ikincisinden tek cozum geldi. Bu kisim da ilgili olanlara odev olsun.

Comments

aslında anlamadığım kısım durum2; türev sıfır hensel lemmayı artık kullanamayız sanırım, o kısmı açıklayabilir misiniz?

---

http://math453spring2009.wikidot.com/hensel-s-lemma

suraya bir bakabilir misin? sonra burdaki bilgiler uzerine konusalim, eger anlasilmaan yer olursa.