Asal idealden kurtulma

Question

$R$ değişmeli bir halka $I$ bu halkanın bir ideali, $\mathfrak{p}_1,\cdots,\mathfrak{p}_n$ de asal idealler olsun. Aşağıdaki önermelerin birbirine denk olduğunu kanıtlayın:

1- $$I\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak{p}_i$$ ;

2- $I$ ideali $\mathfrak{p}_i$ asal ideallerinin birisi tarafından içerilir.

not: elbette 2'nin 1'i gerektirdiği gün gibi aşikar.

Answer 1

Tumevarim ile ispati, n uzerinde:

$I \not \subset p_i \: (1 \leq i \leq n) \implies \: I \not \subset \cup_{i=1}^{n}p_i$

n=1 icin bariz dogru. Eger $n >1$ ise  $n-1$ icin dogru oldugunu kabu etmistik, o zaman her $i$ icin bir adet $x_i \in I - p_j$ vardir, $j \neq i$ olmak uzere. O halde

$y= \sum_{i=1}^{n}x_1x_2...x_{i-1}x_{i+1}x_{i+2}...x_n$

olarak $y$ elemanini alirsak: $y \in I-p_i$ olur, tum $1\leq i \leq n$ icin. O zaman $\: I \not \subset \cup_{i=1}^{n}p_i$.

Introduction to Commutative Algebra kitabina da bakilabilir, proposition 1.11.

Comments

Kanıtla ilgili ilk sorum, direkt kanıt verebilir miyiz?

İkinci sorum, şunu söylemek neden yanlış?

"Diyelim ki $x_1, x_2, \dots, x_n$ elemanları $p_1, p_2, \dots p_n$'in hiçbirinde bulunmasın"