Boole halkasında her asal ideal maksimaldir, gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
650 kez görüntülendi
23, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde adige (14 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$R$ bir halka, $I$ da bir ideal olsun. Oncelikle,

  1. $I$ bir asal idealdir ancak ve ancak $R / I$ bir tamlik bolgesi ise.
  2. $I$ bir maksimal idealdir ancek ve ancak $R / I $ bir cisim ise.

Simdi, $R$ bir Boole halkasi (Her $x \in R$ icin $x^2 = x$) ve $I$ da bir asal ideal olsun.

Demek ki $R / I$ bir tamlik bolgesi. $\overline{x} \in R/I$ alalim. $$\overline{x}^2 = \overline{x} \; \overline{x}= \overline{xx} = \overline{x}$$ oldugunu gozlemleyelim. (Yani $R / I$ da bir Boole halkasi.) O zaman, $$0 = \overline{x}^2 - \overline{x} = \overline{x}(\overline{x} -1) $$ Ama $R/ I$ bir tamlik bolgesi. O zaman, $\overline{x} = 0$ ya da $\overline{x} = 1$. Demek ki, $R/I$'nin iki elemani varmis. Yani, $$R/I \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

Yukaridaki "2."'den oturu $I$'nin bir maksimal ideal olmasi gerekiyor.


Not: Kanitin yarisinda, $R$'nin birimli bir halka oldugunu kullandigimi farkettim. Eger, halkada $1$ yoksa ne yapmak gerek bilemiyorum su an.

Not2: Ayni zamanda $R$'nin degismeli oldugunu da kullandim. Ama her Boole halkasi degismelidir zaten. Bunu gostermek icin $x + x = (x + x)^2$ esitliginden $2 x = 0$ geldigini gormek ve sonra $(x+y)^2 = x+ y$ esitligini kullanmak yeterli.

23, Mayıs, 2015 Ozgur (1,988 puan) tarafından  cevaplandı
24, Mayıs, 2015 Ozgur tarafından düzenlendi
$I$ idealinin üzerinde $I$ dan farklı bir $J$ ideali al. Böylece $J$ de olan $I$ da olmayan bir eleman mutlaka var. Halkanın Boole Olmasını kullanarak $J$ nin halkaya Eşit olduğunu görmeye çalış. Dolayısıyla $I$ maksimal olur. Tersi doğru zaten. Boole halkaları cevabında da belirttiğin gibi birimli olmak zorunda değiller. 

$j \in J \setminus I$ olsun... diye basladim. 

Halkanin $J$'ye esit oldugunu gostermek istiyorum. Herhangi bir $r \in R$ alalim. Bunun $J$'de oldugunu gostermem lazim. Ve halkanin Boole olmasini kullanacagim.

$r + j$'ye bakmayi denedim, buradan bir sey cikmiyor gibi.

$rj$'ye bakalim. $rj =rjrj$ oldugunu biliyoruz, $r^2j = rj = rj^2$ oldugunu biliyoruz. Yukaridaki gibi bir sey yapmaya calisiyorum, 1 yerine $j$'yi kullanarak.

$rj = rj^2$ ise $rj - rj^2 = (r - rj) j = 0 \in I$. 

$I$ asal oldugu icin ve $j \notin I$ oldugu icin, $r - rj \in I \subset J$. . Aha! $J$ ideal oldugu icin $rj \in J$ ve bu da demek oluyor ki $r = r - rj + rj \in J$.

Evet Özgür bey. Doğru Yaptıklarınız. 

Tesekkur ederim! Ben hep bolum halkalarina odaklanmistim, hic maksimal olmanin kelime anlamini dusunmemistim!


Rica ederim. Ters yönün ispatı daha güzel onu da Düşünelim olur mu?
Her maksimal ideal, asal ideal olmak zorunda degil demek ki. Cevabinizdan bunu anliyorum. Oyle mi? 

Cevabimda kullandigim 1 ve 2 numarali onermelerin kanitlarini dusunuyorum da, birim elemanin varligini kullaniyor muyum, kullanmiyor gibiyim?

Halkalar degismeli olmayabilir, o zaman 1'de tamlik bolgesi yerine "sifir bolensiz" diyebilirim. 2'de de cisim yerine "bolum halkasii (division ring?)" diyebilirim. Degil mi?

Maksimal idealin asal olmadığı yerler var tabii. Boole halkaları değişmeli. 

Dogru! Bunu hatirliyorum.

$2x = (2x)^2 = 4x^2 = 4x$

Dolayisiyla $2x = 0$. Yani $x = -x$ her $x \in R$ icin.

Sonra da $(x+y)^2$'ye bakiyorduk.

Peki, o zaman benim cevabimdaki 1 ve 2 numarali onermeler niye dogru degil burada?
$2\Bbb{Z}$ de $4\Bbb{Z}$ yi Düşünelim. Halka değişmeli ancak birimli değil bölüm halkası Boole.  Ancak ideal maksimal Olmasına rağmen asal değil. 
Tamlık bölgesi ve cisim olması için halka birimli Olmalı. $R$ birimli ve değişmeli ise  bölüm halkaları da birimli ve değişmeli olur. 
Asal idealin Tanımı farklı Özgür bey.  Halkanın birimli olmasında yukarıdaki gibi Kullanımlar mevcut. 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Halkamizda birim eleman olmasa bile calisan baska bir kanit: (Diger cevabin altindaki yorumlarindan dolayi Handan Hanim'a tesekkurler)

$R$ bir Boole halkasi ve $I$ bir asal ideal olsun. $I \subsetneq J$ olacak sekilde bir $J$ ideali alalim. Amacimiz $I$'nin maksimal oldugunu, yani $R = J$ oldugunu gostermek.

$r \in R$ ve $j \in J \setminus I$ elemanlarini alalim. $$j = j^2 \\ rj = rj^2 $$ oldugu icin$$ rj-rj^2 = 0 \\ (r -rj) j = 0$$ olur. Demek ki $(r -rj)j \in I$. Ama $I$ bir asal ideal. O halde $r - rj \in I$ ya da $j \in I$. $j \in J\setminus I$ aldigimiz icin, $$r - rj \in I$$ yani $$r - rj \in J$$ Ote yandan, $J$ bir ideal oldugu icin $rj \in J$. Dolayisiyla,

$$r = r-  rj + rj\in J$$

Yani $R = J$. Demek ki, $I$ maksimalmis.

24, Mayıs, 2015 Ozgur (1,988 puan) tarafından  cevaplandı
...