Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
572 kez görüntülendi

Teorem: Gerçel sayılar kümesinin, uzunlukları toplamı 1 olan ve birleşiminin her kesirli sayıyı içeren aralıkları vardır.

Kanıt: Kesirli sayılar kümesi Q'nun sayılabilir sonsuzlukta olduğunu biliyoruz. Demek ki kesirli sayıları q0,q1,...qn,... diye numaralandırabiliriz. Her n doğal sayısı için, uzunluğu 12n+1 olan  (qn12n+2,qn+12n+2) açık aralığını alalım. Bu aralıklar tüm kesirli sayıları içerir ve elbette uzunlukları toplamı 12+14+...=1'dir.

Ayrıca aralıkları daha da kısaltarak toplam uzunluğu 0'dan büyük olmak koşuluyla dilediğimiz kadar küçültebiliriz.


Soru: Kesirli bir sayı olmayan π'yi bu aralıkların dışında bırakabilir misiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından  | 572 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Evet.  

Fikir: π den büyük rasyonel sayıları içeren ve toplam uzunluğu 12 olan (sorudakine benzer şekilde) aralıklar seçelim. Ama aralıklarımızın π yi içermemesine dikkat ederek. Sayımız π ye"çok yakın" ise  aralığı biraz sağa kaydırırız.

Daha açık olarak: qn>π olmak üzere (xn,xn+12n+2) aralığını seçeriz. Burada xn={qn12n+3,qnπ+12n+3 iseπ+qn2,qn<π+12n+3 ise

Benzer şekilde π den küçük rasyoneller için de toplam uzunluğu 12 olan aralıklar seçeriz.

Hepsi birlikte istenen aralıkları oluşturur.

Aynı fikirle istediğimiz kadar (sonlu çoklukta)  sayıyı dışarıda bırakabiliriz.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,593 kullanıcı