Teorem: Gerçel sayılar kümesinin, uzunlukları toplamı 1 olan ve birleşiminin her kesirli sayıyı içeren aralıkları vardır.
Kanıt: Kesirli sayılar kümesi Q'nun sayılabilir sonsuzlukta olduğunu biliyoruz. Demek ki kesirli sayıları q0,q1,...qn,... diye numaralandırabiliriz. Her n doğal sayısı için, uzunluğu 12n+1 olan (qn−12n+2,qn+12n+2) açık aralığını alalım. Bu aralıklar tüm kesirli sayıları içerir ve elbette uzunlukları toplamı 12+14+...=1'dir.
Ayrıca aralıkları daha da kısaltarak toplam uzunluğu 0'dan büyük olmak koşuluyla dilediğimiz kadar küçültebiliriz.
Soru: Kesirli bir sayı olmayan π'yi bu aralıkların dışında bırakabilir misiniz?