Son dönemde puan niteliklerinde ufak bir değişiklik oldu, puanlardaki değişim bundan kaynaklanıyor ve gereksiz madalyalar sistemden kaldırıldı, bilginize.

Şimdi Sor!

İletişim İçin;

Anıl Berkcan Türker

E.Sercan Yılmaz

Çağan Özdemir

Biraz kümeler kuramı biraz analiz

1 beğenilme 0 beğenilmeme
49 kez görüntülendi

$Teorem:$ Gerçel sayılar kümesinin, uzunlukları toplamı 1 olan ve birleşiminin her kesirli sayıyı içeren aralıkları vardır.

$Kanıt:$ Kesirli sayılar kümesi $\mathbb{Q}$'nun sayılabilir sonsuzlukta olduğunu biliyoruz. Demek ki kesirli sayıları $q_0 , q_1 , . . . q_n, . . . $ diye numaralandırabiliriz. Her $n$ doğal sayısı için, uzunluğu $\frac{1}{2^{n+1}}$ olan  $(q_n - \frac{1}{2^{n+2}} , q_n + \frac{1}{2^{n+2}})$ açık aralığını alalım. Bu aralıklar tüm kesirli sayıları içerir ve elbette uzunlukları toplamı $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . = 1$'dir.

Ayrıca aralıkları daha da kısaltarak toplam uzunluğu $0$'dan büyük olmak koşuluyla dilediğimiz kadar küçültebiliriz.


$Soru:$ Kesirli bir sayı olmayan $\pi$'yi bu aralıkların dışında bırakabilir misiniz?

16, Ağustos, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (595 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Evet.  

Fikir: $\pi$ den büyük rasyonel sayıları içeren ve toplam uzunluğu $\frac12$ olan (sorudakine benzer şekilde) aralıklar seçelim. Ama aralıklarımızın $\pi$ yi içermemesine dikkat ederek. Sayımız $\pi$ ye"çok yakın" ise  aralığı biraz sağa kaydırırız.

Daha açık olarak: $q_n>\pi$ olmak üzere $(x_n,x_n+\frac1{2^{n+2}})$ aralığını seçeriz. Burada $x_n=\begin{cases}q_n-\frac1{2^{n+3}},\quad q_n\geq \pi+\frac1{2^{n+3}}\textrm{ ise}\\ \frac{\pi+q_n}2,\quad q_n<\pi+\frac1{2^{n+3}}\textrm{ ise}\end{cases}$

Benzer şekilde $\pi$ den küçük rasyoneller için de toplam uzunluğu $\frac12$ olan aralıklar seçeriz.

Hepsi birlikte istenen aralıkları oluşturur.

Aynı fikirle istediğimiz kadar (sonlu çoklukta)  sayıyı dışarıda bırakabiliriz.

23, Eylül, 2016 DoganDonmez (3,158 puan) tarafından  cevaplandı
25, Eylül, 2016 Cagan Ozdemir tarafından seçilmiş
...