$xy^2 = 0$ oldugunu gosterin.

Question

Elimde su iliskilere sahip bir degismesiz cebir var:

$$bxy = ayx\\ cxz = by^2\\ ax^2 = cyz \\ cxz = bzx \\ bx^2 = czy  \\ az^2 = cxy$$

burada $a,b,c$ sifir olmayan, bir de kupleri birbrinden farkli olan kompleks sayilar (ama bu sayilarin ne oldugunun cok onemi yok su an).

$xy^2 = 0$ olmasi gerekiyor bir sekilde, ama neden oldugunu goremiyorum. Yardimci olabilecek var midir? 

Oyunun kurallarina asina olmayanlar icin tekrar ediyim: Elimizde uc harfli bir alfabe var {x,y,z}. Bu harflerle sonlu uzunlukta kelimeler yaziyoruz. Aralara sayilar sikistirabiliyoruz. Bu sayilari istedigimiz yere koyabiliyoruz ama harflerin yerini degistirmek istedigimiz gibi degistiremiyoruz: Sadece yukaridaki iliskiler ve yukaridaki iliskilerden yola cikilarak elde ettigimiz yeni iliskileri kullanabiliriz (istedigimiz kadar kullanma hakkina sahibiz bu iliskileri). Ornegin $cxyz = xcyz = xax^2 = ax^3$ oldugunu gorebiliyoruz, ya da $byzx = ybzx = ycxz = cyzx$. Bu kurallara uyarak $xy^2 = 0$ oldugunu gosterebilir misiniz?

Ekleme: Ayni zamanda kelimeleri toplama hakkina da sahibim. Mesela $xy + yx$ yazabilirim. Ayrica soldan carpmanin ve sagdan carpmanin toplama uzerine dagilma ozelligi var. Yani ornegin $x(yz + zx) = xyz + xzx$ ve de ornegin $(ax + bxzy)23yx = 23axyx + 23bxzy^2x$.

Ikinci ekleme: Sifir oldugunu gostermek demek ne demek? Iliskiler sunu soyluyor bize:

$$bxy - ayx = 0\\ cxz - by^2 = 0\\ ax^2 - cyz =0 \\ cxz - bzx =0\\ bx^2 - czy = 0 \\ az^2 - cxy = 0$$ Buradan hareketle sifir oldugunu gostermek demek  $$xy^2 = m_1(bxy - ayx) + m_2 (cxz - by^2) + m_3(ax^2 - cyz ) + m_4 (cxz - bzx ) + m_5( bx^2 - czy)  + m_6 ( az^2 - cxy)$$ olacak sekilde $m_1, \ldots, m_6$ bulmak demek. Burada $m_i$'ler sayi olabilir, kelime olabilir, ne isterseniz olabilir.

Ucuncu ekleme: Ikinci eklemedeki sey eksik. Parantez icindeki seyleri sagdan da bir seylerle carpabilirim: 

$$xy^2 = m_1(bxy - ayx)n_1 + m_2 (cxz - by^2)  n_2+ m_3(ax^2 - cyz ) n_3 + m_4 (cxz - bzx ) n_4 + m_5( bx^2 - czy)n_5  + m_6 ( az^2 - cxy)n_6$$ olacak dogrusu. Tabii butun $n_i$'leri $1$ olarak secip bir onceki sekle de getirebilirsiniz ama gordugum kadariyla sadece $m_i$leri kullanip sonuca ulasmak imkansiz.

Comments

Bu soruda tek aklıma yatmayan şey: "$a,b,c$" nin tersleri mevcut mu değil mi?

---

Sıfırdan farklı kompleks sayılar. Tersler mevcut.

---

Ozgur hocam cevabı buldunuz mu?

---

Bulamadım Kırmızı hocam. Ya başka sebeplerden dolayı sıfır olması gerektiğini biliyorum da, böyle direkt hesaplayarak elde edemedim. Kolay olması lazım aslında.

---

 Çok ilginç ya, düşüneyim biraz.