Baglantili kumelerin kapanislarinin da bağlantılı oldugunu gosterin.

4 beğenilme 0 beğenilmeme
104 kez görüntülendi

Ve bunu kullanarak bir uzayin baglantili bilesenlerinin kapali olmak zorunda oldugu sonucunu elde edin. (Hemen simdi)

20, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,250 puan) tarafından  soruldu
20, Ağustos, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Bağlantılı küme nedir? (Yada İngilizcesi)

@Handan Connected (Topological) Space.

@Safak Ozden Bağlantılı kümelerin kapanışlarının da bağlantılı olduğunu gösterin.

Teşekkürler Özgür.

Düzelttim, sağolun.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İşe bir topolojik uzayda bağlantısız küme ve bağlantılı küme tanımlarını vererek başlayalım.

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere
$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme)}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\exists U,V\in \tau)(A\cap U\neq\emptyset)(A\cap V\neq\emptyset)((A\cap U)\cap(A\cap V)=\emptyset)((A\cap U)\cup(A\cap V)=A)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\exists U,V\in \tau)(A\cap U\neq\emptyset)(A\cap V\neq\emptyset)(A\cap (U\cap V)=\emptyset)(A\cap (U\cup V)=A)$$

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subset X$ olmak üzere
$$A,\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme) değil}$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall U,V\in \tau)(A\cap U=\emptyset \vee A\cap V=\emptyset \vee A\cap (U\cap V)\neq\emptyset \vee A\cap (U\cup V)\neq A)$$

Şimdi de gelelim sorunun cevabına:

İspat: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $A\subset X$ ve $A$, $\tau$-bağlantılı olsun.
$$A,\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}$$
$$\Rightarrow$$
$$A,\,\ \tau\text{-bağlantısız (küme) değil}$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall U,V\in \tau)(A\cap U=\emptyset \vee A\cap V=\emptyset \vee A\cap (U\cap V)\neq \emptyset \vee A\cap (U\cup V)\neq A)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall U,V\in \tau)(A\subseteq U^c \vee A\subseteq V^c \vee A\nsubseteq (U\cap V)^c \vee A\nsubseteq (U\cup V)^c)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall U,V\in \tau)(\overline{A}\subseteq \overline{U^c}=U^c \vee \overline{A}\subseteq \overline{V^c}=V^c \vee \overline{A}\nsubseteq \overline{(U\cap V)^c}=(U\cap V)^c\vee \overline {A}\nsubseteq \overline{(U\cup V)^c}=(U\cup V)^c)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\forall U,V\in \tau)(\overline{A}\cap U=\emptyset \vee \overline{A}\cap V=\emptyset \vee \overline{A}\cap (U\cap V)\neq\emptyset \vee \overline {A}\cap (U\cup V)\neq\overline{A})$$
$$\Rightarrow$$
$$\overline{A},\,\ \tau\text{-bağlantılı (küme)}.$$
21, Ağustos, 2015 murad.ozkoc (8,108 puan) tarafından  cevaplandı
21, Ağustos, 2015 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

murad.ozkoc'un yaniti standard bir yanit. Bir baska yanit ise su iki savi kullanarak verilebilir:

Sav 1. $X$ baglantili bir uzay ve $\{ 0, 1 \}$ ayrik topolojiyle donatilmis olsun. $f: X \to \{ 0, 1\} $ surekli bir fonksiyon ise $f$ sabit fonksiyondur.

Sav 1'in Kaniti. $f  : X \to \{ 0 ,1 \}$ surekli bir fonksiyon olsun. $U = f^{-1}(0)$ ve $V = f^{-1}(1)$ kumeleri acik olmak zorundalar. Ustelik, $f$ bir fonksiyon oldugu icin, $U \cap V = \emptyset$ ve $U \cup V = X$ olmak zorunda. Demek ki, ($X$ baglantili oldugu icin) $U$ ve $V$'den birisi bos olmali. Bir baska deyisle, $U$ ve $V$'den bir tanesi $X$'e esit olmali. Bu da fonksiyonun sabit olmasi demek. $\square$

Sav 2. Sav 1'in tersi de dogrudur. Yani, $X$'ten $\{ 0, 1\}$'e giden sabit fonksiyon disinda surekli fonksiyon yoksa, $X$ baglantili bir uzaydir.

Sav 2'nin Kaniti. $X$ baglantisiz bir uzay olsun. $U, V \subset X$ alt kumeleri acik, bostan farkli, birbiriyle kesismeyen ve birlesimleri butun uzayi veren acik kumeler olsun. O halde,  $$f(x) = \begin{cases} 0, \quad x \in U \text{ ise} \\ 1, \quad x \in V \text{ ise}\end{cases}$$ kuraliyla tanimlanan $f: X \to \{0,1 \}$ fonksiyonu surekli bir fonksiyondur ve sabit degildir. Contrapositive ile kanitlamis olduk. $\square$

Kanit: $X$ baglantili bir uzay ve $f: \overline{X} \to \{0,1\}$ surekli bir fonksiyon olsun. $f$'in $X$'e kisitlanisi da surekli bir fonksiyondur. $X$ baglantili oldugu icin, sav 1'den dolayi $f$'in $X$ uzerinde sabit olmasi gerektigini goruyoruz. Her $x \in X$ icin $f(x) = c$ diyelim.

Simdi $a \in \overline{X}$ olsun. $X$ icerisinde, $x_n \to a$ olacak sekilde bir $x_n$ dizisi vardir. $f$ surekli oldugu icin $f(x_n) \to f(a)$ yakinsakligi da gecerlidir. Ama her $x_n$ icin $f(x_n) = c$ olduguna gore, $f(x_n)$ sabit dizisinin limiti de $c$ olmali. Yani, $f(a) = c$. Demek ki, her $a \in \overline{X}$ icin $f(a) = c$, yani $f$ sabit fonksiyon.

Eger $f: \overline{X} \to \{0,1\}$ surekli ise, $f$'in sabit olmasi gerektigini gosterdik. Sav 2'den dolayi, $\overline{X}$ baglantilidir. $\square$

Sonuc: Baglantili bilesenler, maksimal baglantili kumelerdir. Yani, $A$ bir baglantili bilesen ve $B \supseteq A$ baglantili bir kume ise $A = B$'dir. Simdi, $X$ bir baglantili bilesen ise, yukarida $\overline{X}$'in de baglantili olmasi gerektigini soyledik. $\overline{X} \supseteq X$ oldugu icin, maksimallikten dolayi $X$ kapali olmak zorundadir.

21, Ağustos, 2015 Ozgur (1,988 puan) tarafından  cevaplandı

Çoh iyi.        

Diziler, komsuluklarinin sayilabilir bir bazı olduğunda kullanilabilir. Onun yerine $\{0,1\}$ giden fonksiyonlarla ispat yapılabilir.

$\overline{X}$ nin bağlantısız olduğunu varsayalım. (Çözümde gösteridiği gibi)  $f:\overline{X}\to \{0,1\}$ sabit olmayan sürekli bir fonksiyonu vardır. $f^{-1}(0)$ ve $f^{-1}(1)$ boş omayan açık kümeler ve $X,\ \overline{X}$ de yoğun olduğundan her ikisinde de $X$ in elemanları vardır. $g=f\mid_X$ (kısıtlama) olsun). $g:X\to \{0,1\}$ sabit olmayan sürekli bir fonksiyondur. Çelişki

Tesekkurler Dogan hocam.

...