Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

Ve bunu kullanarak bir uzayin baglantili bilesenlerinin kapali olmak zorunda oldugu sonucunu elde edin. (Hemen simdi)

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.7k kez görüntülendi

Bağlantılı küme nedir? (Yada İngilizcesi)

@Handan Connected (Topological) Space.

@Safak Ozden Bağlantılı kümelerin kapanışlarının da bağlantılı olduğunu gösterin.

Teşekkürler Özgür.

Düzelttim, sağolun.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

murad.ozkoc'un yaniti standard bir yanit. Bir baska yanit ise su iki savi kullanarak verilebilir:

Sav 1. X baglantili bir uzay ve {0,1} ayrik topolojiyle donatilmis olsun. f:X{0,1} surekli bir fonksiyon ise f sabit fonksiyondur.

Sav 1'in Kaniti. f:X{0,1} surekli bir fonksiyon olsun. U=f1(0) ve V=f1(1) kumeleri acik olmak zorundalar. Ustelik, f bir fonksiyon oldugu icin, UV= ve UV=X olmak zorunda. Demek ki, (X baglantili oldugu icin) U ve V'den birisi bos olmali. Bir baska deyisle, U ve V'den bir tanesi X'e esit olmali. Bu da fonksiyonun sabit olmasi demek.

Sav 2. Sav 1'in tersi de dogrudur. Yani, X'ten {0,1}'e giden sabit fonksiyon disinda surekli fonksiyon yoksa, X baglantili bir uzaydir.

Sav 2'nin Kaniti. X baglantisiz bir uzay olsun. U,VX alt kumeleri acik, bostan farkli, birbiriyle kesismeyen ve birlesimleri butun uzayi veren acik kumeler olsun. O halde,  f(x)={0,xU ise1,xV ise

kuraliyla tanimlanan f:X{0,1} fonksiyonu surekli bir fonksiyondur ve sabit degildir. Contrapositive ile kanitlamis olduk.

Kanit: X baglantili bir uzay ve f:¯X{0,1} surekli bir fonksiyon olsun. f'in X'e kisitlanisi da surekli bir fonksiyondur. X baglantili oldugu icin, sav 1'den dolayi f'in X uzerinde sabit olmasi gerektigini goruyoruz. Her xX icin f(x)=c diyelim.

Simdi a¯X olsun. X icerisinde, xna olacak sekilde bir xn dizisi vardir. f surekli oldugu icin f(xn)f(a) yakinsakligi da gecerlidir. Ama her xn icin f(xn)=c olduguna gore, f(xn) sabit dizisinin limiti de c olmali. Yani, f(a)=c. Demek ki, her a¯X icin f(a)=c, yani f sabit fonksiyon.

Eger f:¯X{0,1} surekli ise, f'in sabit olmasi gerektigini gosterdik. Sav 2'den dolayi, ¯X baglantilidir.

Sonuc: Baglantili bilesenler, maksimal baglantili kumelerdir. Yani, A bir baglantili bilesen ve BA baglantili bir kume ise A=B'dir. Simdi, X bir baglantili bilesen ise, yukarida ¯X'in de baglantili olmasi gerektigini soyledik. ¯XX oldugu icin, maksimallikten dolayi X kapali olmak zorundadir.

(2.5k puan) tarafından 

Çoh iyi.        

Diziler, komsuluklarinin sayilabilir bir bazı olduğunda kullanilabilir. Onun yerine {0,1} giden fonksiyonlarla ispat yapılabilir.

¯X nin bağlantısız olduğunu varsayalım. (Çözümde gösteridiği gibi)  f:¯X{0,1} sabit olmayan sürekli bir fonksiyonu vardır. f1(0) ve f1(1) boş omayan açık kümeler ve X, ¯X de yoğun olduğundan her ikisinde de X in elemanları vardır. g=fX (kısıtlama) olsun). g:X{0,1} sabit olmayan sürekli bir fonksiyondur. Çelişki

Tesekkurler Dogan hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İşe bir topolojik uzayda bağlantısız küme ve bağlantılı küme tanımlarını vererek başlayalım.

Tanım: (X,τ) topolojik uzay ve AX olmak üzere
A, τ-bağlantısız (küme)
:⇔
(U,Vτ)(AU)(AV)((AU)(AV)=)((AU)(AV)=A)
(U,Vτ)(AU)(AV)(A(UV)=)(A(UV)=A)

Tanım: (X,τ) topolojik uzay ve AX olmak üzere
A, τ-bağlantılı (küme)
:⇔
A, τ-bağlantısız (küme) değil
(U,Vτ)(AU=AV=A(UV)A(UV)A)

Şimdi de gelelim sorunun cevabına:

İspat: (X,τ) topolojik uzay, AX ve A, τ-bağlantılı olsun.
A, τ-bağlantılı (küme)
A, τ-bağlantısız (küme) değil
(U,Vτ)(AU=AV=A(UV)A(UV)A)
(U,Vτ)(AUcAVcA(UV)cA(UV)c)
(U,Vτ)(¯A¯Uc=Uc¯A¯Vc=Vc¯A¯(UV)c=(UV)c¯A¯(UV)c=(UV)c)
(U,Vτ)(¯AU=¯AV=¯A(UV)¯A(UV)¯A)
¯A, τ-bağlantılı (küme).
(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,101,985 kullanıcı