murad.ozkoc'un yaniti standard bir yanit. Bir baska yanit ise su iki savi kullanarak verilebilir:
Sav 1. X baglantili bir uzay ve {0,1} ayrik topolojiyle donatilmis olsun. f:X→{0,1} surekli bir fonksiyon ise f sabit fonksiyondur.
Sav 1'in Kaniti. f:X→{0,1} surekli bir fonksiyon olsun. U=f−1(0) ve V=f−1(1) kumeleri acik olmak zorundalar. Ustelik, f bir fonksiyon oldugu icin, U∩V=∅ ve U∪V=X olmak zorunda. Demek ki, (X baglantili oldugu icin) U ve V'den birisi bos olmali. Bir baska deyisle, U ve V'den bir tanesi X'e esit olmali. Bu da fonksiyonun sabit olmasi demek. ◻
Sav 2. Sav 1'in tersi de dogrudur. Yani, X'ten {0,1}'e giden sabit fonksiyon disinda surekli fonksiyon yoksa, X baglantili bir uzaydir.
Sav 2'nin Kaniti. X baglantisiz bir uzay olsun. U,V⊂X alt kumeleri acik, bostan farkli, birbiriyle kesismeyen ve birlesimleri butun uzayi veren acik kumeler olsun. O halde, f(x)={0,x∈U ise1,x∈V ise
kuraliyla tanimlanan
f:X→{0,1} fonksiyonu surekli bir fonksiyondur ve sabit degildir. Contrapositive ile kanitlamis olduk.
◻
Kanit: X baglantili bir uzay ve f:¯X→{0,1} surekli bir fonksiyon olsun. f'in X'e kisitlanisi da surekli bir fonksiyondur. X baglantili oldugu icin, sav 1'den dolayi f'in X uzerinde sabit olmasi gerektigini goruyoruz. Her x∈X icin f(x)=c diyelim.
Simdi a∈¯X olsun. X icerisinde, xn→a olacak sekilde bir xn dizisi vardir. f surekli oldugu icin f(xn)→f(a) yakinsakligi da gecerlidir. Ama her xn icin f(xn)=c olduguna gore, f(xn) sabit dizisinin limiti de c olmali. Yani, f(a)=c. Demek ki, her a∈¯X icin f(a)=c, yani f sabit fonksiyon.
Eger f:¯X→{0,1} surekli ise, f'in sabit olmasi gerektigini gosterdik. Sav 2'den dolayi, ¯X baglantilidir. ◻
Sonuc: Baglantili bilesenler, maksimal baglantili kumelerdir. Yani, A bir baglantili bilesen ve B⊇A baglantili bir kume ise A=B'dir. Simdi, X bir baglantili bilesen ise, yukarida ¯X'in de baglantili olmasi gerektigini soyledik. ¯X⊇X oldugu icin, maksimallikten dolayi X kapali olmak zorundadir.