$xy^2 = 0$ oldugunu gosterin.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
59 kez görüntülendi
Elimde su iliskilere sahip bir degismesiz cebir var:
$$bxy = ayx\\ cxz = by^2\\ ax^2 = cyz \\ cxz = bzx \\ bx^2 = czy  \\ az^2 = cxy$$
burada $a,b,c$ sifir olmayan, bir de kupleri birbrinden farkli olan kompleks sayilar (ama bu sayilarin ne oldugunun cok onemi yok su an).
$xy^2 = 0$ olmasi gerekiyor bir sekilde, ama neden oldugunu goremiyorum. Yardimci olabilecek var midir? 

Oyunun kurallarina asina olmayanlar icin tekrar ediyim: Elimizde uc harfli bir alfabe var {x,y,z}. Bu harflerle sonlu uzunlukta kelimeler yaziyoruz. Aralara sayilar sikistirabiliyoruz. Bu sayilari istedigimiz yere koyabiliyoruz ama harflerin yerini degistirmek istedigimiz gibi degistiremiyoruz: Sadece yukaridaki iliskiler ve yukaridaki iliskilerden yola cikilarak elde ettigimiz yeni iliskileri kullanabiliriz (istedigimiz kadar kullanma hakkina sahibiz bu iliskileri). Ornegin $cxyz = xcyz = xax^2 = ax^3$ oldugunu gorebiliyoruz, ya da $byzx = ybzx = ycxz = cyzx$. Bu kurallara uyarak $xy^2 = 0$ oldugunu gosterebilir misiniz?

Ekleme: Ayni zamanda kelimeleri toplama hakkina da sahibim. Mesela $xy + yx$ yazabilirim. Ayrica soldan carpmanin ve sagdan carpmanin toplama uzerine dagilma ozelligi var. Yani ornegin $x(yz + zx) = xyz + xzx$ ve de ornegin $(ax + bxzy)23yx = 23axyx + 23bxzy^2x$.

Ikinci ekleme: Sifir oldugunu gostermek demek ne demek? Iliskiler sunu soyluyor bize:

$$bxy - ayx = 0\\ cxz - by^2 = 0\\ ax^2 - cyz =0 \\ cxz - bzx =0\\ bx^2 - czy = 0 \\ az^2 - cxy = 0$$ Buradan hareketle sifir oldugunu gostermek demek $$xy^2 = m_1(bxy - ayx) + m_2 (cxz - by^2) + m_3(ax^2 - cyz ) + m_4 (cxz - bzx ) + m_5( bx^2 - czy)  + m_6 ( az^2 - cxy) $$ olacak sekilde $m_1, \ldots, m_6$ bulmak demek. Burada $m_i$'ler sayi olabilir, kelime olabilir, ne isterseniz olabilir.

Ucuncu ekleme: Ikinci eklemedeki sey eksik. Parantez icindeki seyleri sagdan da bir seylerle carpabilirim: 
$$xy^2 = m_1(bxy - ayx)n_1 + m_2 (cxz - by^2)  n_2+ m_3(ax^2 - cyz ) n_3 + m_4 (cxz - bzx ) n_4 + m_5( bx^2 - czy)n_5  + m_6 ( az^2 - cxy)n_6 $$ olacak dogrusu. Tabii butun $n_i$'leri $1$ olarak secip bir onceki sekle de getirebilirsiniz ama gordugum kadariyla sadece $m_i$leri kullanip sonuca ulasmak imkansiz.
14, Ağustos, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (2,128 puan) tarafından  soruldu
14, Ağustos, 2016 Ozgur tarafından düzenlendi

Bu soruda tek aklıma yatmayan şey: "$a,b,c$" nin tersleri mevcut mu değil mi?

Sıfırdan farklı kompleks sayılar. Tersler mevcut.

Ozgur hocam cevabı buldunuz mu?

Bulamadım Kırmızı hocam. Ya başka sebeplerden dolayı sıfır olması gerektiğini biliyorum da, böyle direkt hesaplayarak elde edemedim. Kolay olması lazım aslında.

 Çok ilginç ya, düşüneyim biraz.

...