Türevlenebilen ve türevi kendisine eşit olan tüm fonksiyonları bulunuz

1 beğenilme 0 beğenilmeme
373 kez görüntülendi

Türevlenebilen ve türevi kendisine eşit olan  çok tanınmış bir fonksiyon var. $a\in R$ olmak üzere,  $f(x)=a.e^x$ ise $f'(x)=f(x)$ dir. $f(x)\neq0$ olmak üzere,acaba bu özellikte başka fonksiyonlar var mı?  

3, Ağustos, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,229 puan) tarafından  soruldu
4, Ağustos, 2016 wertten tarafından yeniden kategorilendirildi

$a\in\mathbb R$   olmak üzre,

$f(x)=a.e^x$   fonksiyonu istenilen şartlara uyar ve sayılamaz çoklukta bu fonksiyondan vardır .

Bu yaptıgım "hileli bir çözüm" yani tam istediğiniz soruya cevap degıl bılıyorum , umarım güzel cevaplar gelir.

Bu arada ,$f(x)=f^{(4n)}(x)\quad n\in\mathbb N^+$   için olsaydı  $sinx$   ve   $cosx$ fonksiyonları olabılırdı .

yani bu şartlara uyan kaç çeşit/cins fonksıyon oldugunu arıyorsunuz.

"Hileli çözüm" benim pek sevmediğim bir kavram. Ama benim beklentim senin yazdığın biçimdekilerin haricinde olanlar. Bu yüzden soruyu yeniden düzenledim. Katkın için teşekkürler.

Rica ederim hocam, bu "hileli çözüm tabiri" biraz espirili ve kötü niyet teşkil etmediğini tekrar belirtiyim dedim :D Soru güzel, cevapları çok merak ediyorum.Saygılar ,sevgiler.

Ben de merak ediyorum. Sevgiler.

Merhabalar

$\frac{dy}{dx}=y$, $y(x_0)=y_0$ koşullarini saglayan fonksiyon $y=A.e^x$  dişında olamaz diyor. Bunu da Picard–Lindelöf teoremi denen "biriciklik~uniqueness ile açiklamişlar

Turevi kendisi turunden yazilabilen fonksiyonlara da bir başlik açilmiş,o da ilgi cekici Buradan bakilabilir.

Dip not : cevap kismina yazmadim cunku konu hakkinda bilgi sahibi degilim sadece biraz araştirdiklarimdan konuyla ilgili oldugunu düşündüklerimi ekledim.

Bakmak isterseniz. Burada (dogrudur,yanliştir )

Selamlar saygilar

Degerlı bılgıler ıcın teşekkurler sayın @matbazz.

Rica ederim. Bu arada "sayin" olmamasi tercihimdir. Saygilar selamlar (;

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Daha basit (diferansiyel denklem kullanmadan) yöntemlerle de soruya şu cevabı verebiliriz:

$f$, bir aralıkta tanımlı, bu aralığın her noktasında türevlenebilen ve bu aralığın her noktasında $f'(x)=f(x)$ ise (bir $a$ sabiti için $f(x)=ae^x$ olur.

İspatı: Bu aralığın her noktasında $(f(x)e^{-x})'=...=0$ olduğundan (türev için) Ortalama Değer Teoreminden, $f(x)e^{-x}$ bu aralıkta sabit olmak zorundadır. Sabite $a$ adını verilince  $f(x)=ae^x$ olması gerektiği görülür.

(matbaz ın son bağlantısında da benzer çözüm var. Ben aralık koşulunu vurgulamak istedim)

Aralık koşulu olmadan iddia doğru olmazdı. Örnek

$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ da tanımlı $f(x)=\begin{cases}e^x,\ \ x>0\textrm{ ise}\\2e^x,\ x<0\textrm{ ise}\end{cases}$ fonksiyonu bir karşı örnek olurdu.

4, Ağustos, 2016 DoganDonmez (3,341 puan) tarafından  cevaplandı
4, Ağustos, 2016 Mehmet Toktaş tarafından seçilmiş

Teşekkürler sayın Doğan hocam.Buradan integrallenebildiği aralıkta integrali kendisine eşit olan fonksiyonunda yine yalnız  $f(x)=ae^x$ olduğunu söyleyebiliriz değil mi?

...