Daha basit (diferansiyel denklem kullanmadan) yöntemlerle de soruya şu cevabı verebiliriz:
f, bir aralıkta tanımlı, bu aralığın her noktasında türevlenebilen ve bu aralığın her noktasında f′(x)=f(x) ise (bir a sabiti için f(x)=aex olur.
İspatı: Bu aralığın her noktasında (f(x)e−x)′=...=0 olduğundan (türev için) Ortalama Değer Teoreminden, f(x)e−x bu aralıkta sabit olmak zorundadır. Sabite a adını verilince f(x)=aex olması gerektiği görülür.
(matbaz ın son bağlantısında da benzer çözüm var. Ben aralık koşulunu vurgulamak istedim)
Aralık koşulu olmadan iddia doğru olmazdı. Örnek
R∖{0} da tanımlı f(x)={ex, x>0 ise2ex, x<0 ise fonksiyonu bir karşı örnek olurdu.