İntegral

Question

Sonlu kapalı bir aralık üzerinde Riemann integrallenebilir her fonksiyon aynı zamanda Lebesque integrallenebilir. Peki aynı iddia sonlu olmayan bir küme üzerindeki fonksiyonlar için de geçerli midir? Örneğin $$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$

karşıt bir örnek olur mu?

Comments

Sonlu bir kapalı aralık mı yoksa sınırlı bir kapalı aralık mı olacak?

---

Pardon, anlayamadım. Sonlu kapalı aralık ile sınırlı kapalı aralık arasındaki fark ne?

---

Mesela

$\{1,2\}$ kümesi sonlu, sınırlı, kapalı, aralık değil,

$\{\frac{1}{n}\}$ kümesi sonlu değil, sınırlı, kapalı değil, aralık değil,

$[1,2]$ kümesi sonlu değil, sınırlı, kapalı, aralık,

$[0,\infty)$ kümesi sonlu değil, sınırlı değil, kapalı, aralık,

$\{1\}$ kümesi sonlu, sınırlı, kapalı ve aralık (dejenere aralık),

$\emptyset$ kümesi sonlu, sınırlı, kapalı ve aralık (dejenere aralık),

$$\vdots$$

---

"Sonlu aralık", boyu sonlu olan aralık demektir. Yani sonlu aralık ile sınırlı aralık arasında bir fark yok. Kısaca örnek verdiğiniz  $[0,1]$  sonlu kapalı bir aralıktır. "Sonlu küme" kullanımında sonlu sıfatı kümenin eleman sayısını nitelerken, "sonlu aralık" kullanımında sonlu sıfatı aralığın boyunu niteler. Zaten, eğer sonlu sıfatı aralığın eleman sayısını nteliyor olsaydı, sonlu aralık tek noktadan oluşan küme olurdu.

---

Ama türkçe'de, zinhar sonlu aralık tabiri yok deniyorsa, bilemeyeceğim.

---

Sanıyorum Cantor'un tanımıydı: kendi özalt kümesine 1-1 örten fonksiyon olan kümeye sonsuz küme, sonsuz olmayan kümeye ise sonlu küme deniyor. 

Örnek. $\mathbb N$ sonsuz bir küme çünkü $\{1,4,9,16,...\}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon var. 

---

Sayın @Safak Ozden hocam. Sizin Sayın @tilkiandre'ye verdiğiniz cevaptan sonra kafamda bir kaç soru oluştu. Bunlara cevap verirseniz çok memnun olurum.

1)"Sonsuz bir aralık" ifadesi matematiksel olarak doğru değildir diyebilir miyiz?

2) "$a,b\in \mathbb R$ için $(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]$ reel sayı aralıklarının her biri sonlu olup her birinin boyu $|b-a|$ dır. $(-\infty,a),(-\infty,a],(a,\infty),[a,\infty)$ aralıklarının her biri sonlu değildir ve boyları $\infty$ dir. " İfadesi doğru mudur?

3) Son olarak, kümeler için kullanılan "sonlu" sıfatı ile aralıklar için (ki bunlarında birer nokta kümesi olduğunu biliyoruz) kullanılan "sonlu" sıfatının farklı anlamlarda olduğunun kaynağı nedir? Çalışılan küme, bir reel sayı aralığı olduğunda niteleme için durum nedir acaba?

---

Merhaba Mehmet hocam

- Bunlar tanım meselesi. Çıkarımlar da tanımlara bağlı olarak doğru ya da yanlış olabilir. Bir tanımın yanlış olması ne demek bunu anlayamıyorum ama hocam. Tanım, iddia içermeyeceği için doğru ya da yanlışlığından söz edilemez. Ancak, bir tanımın örneği olmayabilir.

- Ben soruda sonlu aralık dediğimde aklımlımdaki tanım, konu ölçüm teorisi olduğu için, ölçümü (yani uzunluğu) sonlu olan aralık idi. Nitekim, reel sayılar kümesi için aralık dediğimiz küme iki reel sayı arasında kalan reel sayılar olduğu için, eleman sayısı sonlu olan aralığın ancak dejenere biçimde tek elemanlı kümeler olacağı açık. Yani, aslında soruda anlaşılmayacak bir yan yok. Kaldı ki, sonlu aralık, yanlış anlanıp tek nokta olarak düşünülse de, sorudaki iddia doğruluğunu yitirmiyor: Sonlu aralıkla üzerinde Riemann integrallenebilir fonksiyonlar aynı zamanda Lebesgue integrallenebilir. 

---

Çok teşekkür ederim Şafak hocam. Söyledikleriniz çoğuna katılıyorum. Bence çok önemli bir husus,özellikle de temel kavramlara ilişkin tanımların üzerinde mutabık kalınmasıdır. Değilse hem birbirimizi anlamakta zorlanırız, hem de her kafadan bir ses çıkar ve iş başka taraflara gider. 

Bilmiyorum var mı ama, belkide bir özel terim için verilen tanımdan/tanımlardan hangisine veya kiminkine itibar edilmesini belirten bir rehber kaynağa da ihtiyaç var gibi.

---

Şöyle bir veri tabanı var hocam: http://tmd2.org/sozluk/

Orada da göreceğiniz üzere, tanımlar üzerinde bir mutabakat yok. Aslında tanımlar üzerinde mutabık olunmasına da gerek yok. Önemli olan, iddiada bulunurken, iddiada geçen kavramların tanımlarının muğlak olmaması.Örneğin, tıkız küme tanımı pek çok kaynakta farklılık gösterebiliyor. Kimi kaynak tıkız kümeyi, her açık örtüsünün sonlu bir altörtüsü olan küme olarak tanımlarken, bazı kaynaklar, böyle kümeleri öntıkız olarak tanımlayıp, kendi tanımlarına Hausdorff olma şartını da koyarlar. Kelime tıkız, ama farklı kaynaklarda farklı kavramlara karşılık geliyor.

Yani bence önemli olan bir kelimenin tek bir anlamı olması değil, cümle içerisinde hangi anlamına sahip olarak kullanıldığı belli olması.

---

Verdiğiniz link için teşekkür ederim. Bu daha ziyade İngilizce kavramların Türkçe karşılıklarını bulmak,geliştirmek için çok güzel. Teşekkürler.

---

Evet haklısınız, karışıklık olmuş. Kusura bakmayın.

---

Önemli değil. Ama tanımlara ilişkin bir veri tabanı, site varsa memnun olurum.Tekrar teşekkürler.

Answer 1

Sorunuzun ilk cümlesini şöyle anlatim. Riemann integrali zaten sınırlı aralıkta ve sınırlı fonksiyonlara tanımlanıyor. Genelleştirilmiş Riemann integrali ise Riemann integrallerinin bir limiti olarak tanımlanıyor. 

Sorunuzdaki son cümlenin yanıtı şöyle verdiğiniz örnekteki Fonksiyonun O aralıktaki genelleştirimiş Riemann integrali mevcut ama Lebesque integrali yok. 

Şu önerme doğru ve Genel Lebesgue ingegralinin tanımından hemen ispatlanabilir. Bu da Sorunuzdaki 2. Cümlenin cevabı. 

Önerme. Genelleştirimiş Riemann integrali mutlak yakınsak ise Lebesque integrali vardır. 

Saygılar.