Doğru denklemi

Question

A=(1,2,-2) noktasından geçen ve

$\dfrac {x+1} {2}=\dfrac {y+2} {-1}=\dfrac {z-1} {3}$

ile

$\dfrac {x} {1}=\dfrac {y-1} {-2}=\dfrac {z+1} {2}$

doğrularına dik olan doğrunun denklemi nedir?

Cevap:

$\dfrac {x-1} {4}=\dfrac {y-2} {-1}=\dfrac {z+2} {-3}$

Answer 1

$d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{3}$  doğrusunun parametrik denklemi:

 $x=2k-1\\ y=-k-2\\z=3k+1$ 

$d_2:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{2}$  doğrusunun parametrik denklemi:

 $x=t\\ y=-2t+1\\z=2t-1$ 

olduklarından  ve $2k-1=t\\-k-2=-2t+1\\3k+1=2t-1$

 denklem sisteminin çözümü olmadığından verilen doğrular aykırı doğrulardır. Böyle durumlarda;bu doğrulardan birisinin üzerindeki bir noktadan diğerine çizilen paralel doğrunun (ya da doğrultman vektörünün) beraberce belirttiği düzleme dik olan doğruyu bulmalıyız. Bu doğru istediğimizdir.

Bunun için ikinci doğru üzerinde bir nokta seçelim ve bu noktadan birinci  doğruya paralel olan doğruyu bulalım.

$d_2:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{2}$ doğrusu üzerindeki $A(0,1,-1)$ noktasından geçen ve $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{3}$ doğrusuna paralel olan doğru $d_3:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}$ dür. Şimdi elimizde kesişen iki doğru var.Bunlar $d_2,d_3$ dür. Bu doğruların belirttiği düzleme dik olan doğru, doğruların doğrultman vektörlerinin vektörel çarpımı olan vektörü, doğrultman vektör kabul eden doğrudur. Çünkü iki vektörün vektörel çarpımı olan vektör, hem bu vektörlerin her birine diktir hemde oluşturdukları düzleme diktir.

$d_2$ doğrusunun doğrultman vektörü: $\vec{u}=(1,-2,2)$ ve $d_3$ doğrusunun doğrultman vektörü: $\vec{v}=(2,-1,3)$ olup bunların vektörel çarpımları:

$\vec{u}\times\vec{v}=(4,-1,-3)$ olduğundan istenilen doğru verilen noktadan da geçeceğinden,

 $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{-3}$ olacaktır.