Öncelikle, az önce benim tarif ettiğim durumda da kartezyen çarpma olmuyor, zira taban cismi aynı kabul ediyoruz, farklı değil. O yüzden elde edilen şey F[x1,y1,x2,y2] oluyor, yeni [F]7 üzerinden tensör çarpımları.
Ana konuya dönecek olursak. Kabaca şunları dersem hiçbir geometrici beni pataklamaz diye umuyorum zira formal bir şey yazmayacağım için her şeyi inkar edebilirim. Bu arada lif çarpımı yalnızca geometride yok, kategori teoritik anlamı olan genel bir inşa, ama galiba en anlamlı gözüktüğü yer geometri.
Bu işlem anlaşılacağı üzere yamama yoluyla elde edilen geometrik nesneleri tarif eden cebirsel objeleri bulmaya yarıyor. Büyük bir geometrik nesnenin içinde iki tane geometrik obje var, ve bunlar kesişiyorlar. Tabii bu objeleri, büyük objeden bağımsız biçimde, farklı yerlerde kesişmeyen objeler olarak da görebilirsin. Ama biz büyük objenin içinde görüyoruz ve haliyle kesişiyorlar. Bir yandan da bu iki objeyi izole olarak tarif eden cebirsel nesnelerin var. Ve bir üçüncü geometrik objen var, bu ikisinin kesişiminden elde edilen.
X1,X2,X3=X1∩X2 olsun bu objelerin. Bunları tarif eden cebirsel objeler de sırasıyla R1,R2 ve R3 olsun. X3 altküme olduğu için j=1,2 için ej:X3↪Xj gömmeleri vardır. Bu gömmelerin ters yönlerinde de doğal olarak fj:Rj⟶R3 vardır. Hah, işte şimdi R1 ve R2 halkalarının R3 halkası üzerinden lif çarpımını yapabilirsin. Bulduğun halka, X1∪X2 geometrik objesini tarif eden cebirsel nesneyi verecek. Ya da, X1 ve X2'yi ikisinin içinde de görebildiğin X3 üzerinden yapıştırdığında elde ettiğin geometrik objeyi tarif eden cebirsel objeyi verecek.