Üslü sayılar

Question

x ve y doğal sayılar olmak üzere,

$4^{x+3}.5^{2y-2}$ sayısı 11 basamaklı bir sayı olduğuna göre $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Comments

cozum icin neleri denediniz?

---

Hocam bakabilir misiniz?soru ile ilgili $5^{-2}$ kafamı karıştırdı.

---

Neden karistiriyor? $10^{10}$ en kucugu. Buna gore sayilari secebilirsin.

Answer 1

$4^{x+3}.5^{2y-2}=2^{2x+6}.5^{2y-2}=a.10^{10}$ olmalıdır. Burada $1\leq a\leq 9$ olan bir rakamdır. Bu durumda aşağıdaki durumlar söz konusu olabilir.

1)   $2x+6>2y-2$ ise ,$2y-2=10\Rightarrow y=6$  ve $2^{2x+6-2y+2}=a\Rightarrow a=2^{2x-4}$ olmalıdır. Dolayısıyla $x=2,3$ olabilir. Ancak $x=2$ ilk eşitsizliği sağlamaz. Dolayısıyla  $x+y=9$ olur.

2)    $2x+6=2y-2$ ise $2x+6=2y-2=10\Rightarrow x=2,y=6$ olur ve  $x+y=8$ dır.

3)    $2x+6<2y-2$ ise $2x+6=10\Rightarrow x=2$ ve $a=5^{2y-2-2x-6}$

$\Rightarrow 0\leq 2y-2x-8\leq 1\Rightarrow 6\leq y\leq \frac{13}{2}\Rightarrow y=6$ olur. Bu durumda da $x+y=8$ dir. 

Sonuçta $x+y$ 'nin en küçük değeri...