üslü sayılar nasıl tanımlanıyor?

Question

İlkokulda $a^x$'in $a$ sayısının $x$ defa kendisiyle çarpılınca bulunan sonuç olarak öğretildi. Ama $x$ eğer bir tam sayı değilse saçma sapan ifadeler ortaya çıkıyor. Bir $a$ sayısının $\sqrt 2$ kere kendisiyle çarpılması demek ne anlama geliyor.

Ayrıca $a$ pozitif bir gerçek sayısı için, $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R^+}$, $f(x)=a^x$ şeklinde tanımlanan fonksiyonların tersinin olduğunu(birebir ve örten olduğunu) nereden biliyoruz. Seçeceğimiz herhangi $m\in\mathbb{R^+}$ sayısı nasıl oluyorda her zaman $a^x$ şeklinde yazılabiliyor ?

Comments

Sen ona saçma bi ifade diyosan :) al sana $a^0=1$

$0$ tane $a$ yı çarp :)

Nasıl da $0$ tane $a$ yı çarpınca $1$ oluyor?

Cevap: Tanım gereği(İlerde karşımıza çıkan ifadede tanımsızlık çıkmasın diye $a^0=1$ demişler.)

---

Eğer ki gerçek sayılarda uğraşırken karşımıza saçmalık çıkaracak ifadelerin her birine ayrı ayrı tanım vereceksek işimiz zor :)

---

Ali Nesin hocamızın dedikleri belki işine yarar:)

---

Çarpımsal yokluk 1 olunca işler güzel ilerler... 

Rasyonel üstleri alabilirsen irrasyonellere limitsel yaklaşabilirsin. 

---

Sercan hocam sizinde böyle bir sorunuz olmuş cevaplama zamanı geldi :)

Link

---

Ali Nesin hoca da attığınız videoda şöyle demiş:

İkili bir işlemde etkisiz eleman varsa "hiç" tane elemanı o işleme sokarsak, sonuç o ikili işlemin etkisiz elemanıdır.

Bu $a\neq0$ iken $a^0$'ın neden $1$'e eşit olduğunu açıklıyor aslında. Asıl problem Sercan hocamın dediği gibi irrasyonel olan üslerde izlememiz gereken yol.

---

Sorduğumu bile unutmuşum :) Böyle soruların cevapları İnternette olmalı diye sormuştum. Birkaç soruda da cevabını vermiştim aslında. 2 üzere 1/2 demek aslın x^2-2 polinomunun pozitif kökü demek... Bu şekilde rasyonel üsler hesaplanır. İrrasyoneller de süreklilik isteğine göre tanımlanır.

Answer 1

1. $\mathbb{N}$ de üs: 

Eğer $x,y$ doğal sayı ise çarpma kullanmadan $x^y$ tanımlamak mümkün.

$X$, eleman sayısı $x$ olan ($|X|=s(X)=x$) bir küme, $Y$, eleman sayısı $y$ olan ($|Y|=s(Y)=y$) bir küme olsun. $x^y=\left| X^Y\right|$ ($X^Y:\ Y$ den $X$ e fonksiyonların kümesi) olarak tanımlanabilir.

($(x\neq0\text{ için })\ 0^x=0$, her $x$ için $x^0=1$ olur.) $x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ olur

2. $\mathbb{Z}$ de üs: 

Bu kez, ($x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olmasını istiyorsak)  $x^y\in\mathbb{Q}$ olacak.

$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak (ve $x,y\in\mathbb{N}$ iken aynı sonucu verecek) şekilde tek bir tanım mümkün.

(zor değil) $x^{-y}=\frac1{x^y}$ 

Sadece 0 ın negatif kuvvetleri tanımsız olacak vs. $x<0$ ise biraz daha özenle benzer şekilde tanımlanır.

3. $\mathbb{Q}$ de üs: 

$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak ve $x,y\in\mathbb{Z}$ iken aynı sonucu verecek şekilde tek bir tanım mümkün. Bu kez ,$x^y\in\mathbb{R}$ olacak.

Kesirli üsleri köklerle (Örneğin: $x>0, y=\frac mn\ (n\in\mathbb{N}^+)$ ise $x^y=\sqrt[n]{x^m}$) tanımlayacağız. $x<0$ ise biraz daha uzun ve özenli bir tanım gerekli.

($x\leq0$ olduğu) Bazı durumlarda (istediğimiz eşitlikler sağlanamadığı için) $x^y$ tanımlanmaz

4. $\mathbb{R}$ de üs: 

$x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ doğru olacak ve $x,y\in\mathbb{Q}$ iken aynı sonucu verecek ve sürekli olacak şekilde tek bir tanım mümkün.

Önce $\ln:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ (doğal logaritma) ve $\exp:\mathbb{R} \to (0,+\infty)$ ($\ln$ in ters fonksiyonu) fonksiyonlarını tanımlarız. Bu kısa değil) 

(Başka bir yol daha var ama bu daha pratik.)

Daha sonra $x>0$ iken $x^y=\exp(y\ln x)$, ($x\leq0,\ y\in\mathbb{Q}$ ise köklerle) tanımlanır. $x<0,\ y\notin\mathbb{Q}$ ise (istediğimiz koşullar sağlanamadığı için) $x^y$ tanımlanmaz)

Yine $x^{y+z}=x^yx^z$ ve $(xy)^z=x^zy^z$ (tanımlı olduklarında) doğru olur.

 

Comments

Hocam çok teşekkür ederiz.