Question

$\sum _{n=0}^{\infty }\left( n^{2}-8n\right) 8^{-n}$ toplamının değeri nedir?

Comments

$1/8=x$ deyin.
Turev ile kat sayilari yakalayin.
iki parcanin ayri ayri yakinsak oldugunu gorup ayri bir sekilde hesaplayin.

Bu videoya da bakabilirsin. Buradaki soru daha basit tabi. Fakat genel yontemi bu sekilde.

---

Sercan hocanın yaptığını anladım sayılır, ama bu soruda nasıl uygularız?

---

$x^n$
turev  
$nx^{n-1}$ bu ikinci taraf

$x^n$
turev  
$nx^{n-1}$
carpi $x$
$nx^{n}$
turev
$n^2x^{n-1}$
carpi $x$
$n^2x^n$ bu da ilk

---

Sabit sayı ekleyip ardışık iki çarpan elde etmeyi denedim, $n$'in katsayısı çift olduğundan olmuyor. $(n-4)(n-3).x^{n-5}-(n+12).x^{n+11}$ şeklinde ayırıp iki farklı seriyi toplayabiliriz. Bu benim çözümümden bile daha amele yöntemi, o yüzden bir şey yapamadım.

---

Hocam bu nedir Allah aşkına ya :) Bir de oradan deneyeyim, ama oralar zor gibi ya :/

---

Cok kolay degil mi? Bence kolay.

Asagidaki cevabin da dogru mu acaba? Bunu bi yerde foton'da yapmisti, ona da dedim. Sonsuz toplamda terimleri parcalamak serbest mi diye?

---

Sizin çözümü yapabilirsem kapıştırırız :) Ben daha işin başındayım, o yüzden zor gelmiş olabilir, başta fonksiyon da zor geliyordu ama şu anda tabii bir şey oldu benim için :)

---

Bir soruda tıkır tıkır işliyordu, linkini bulayım bir dakika.

---

Bu soruda gayet de serbestti :)

---

Kim serbest dedi :) Yanlis demiyorum, dogrula diyorum.

---

Genel anlamda mı, yoksa sadece o sorudan tümevarım mı yapayım :)

---

Su an icin o sorudan yapabilirsin. Duruma gore genele gideriz ;)

---

Genel için epey uzun, hatta benim bulma ihtimalimin sonsuzda sıfır olduğu bir açıklama gerekir de :)

---

Gerçi iyi düşünmek lazım, belki geneli kapsayan harika bir ispat vardır :)

---

Çözdüm! Yazıyorum birazdan :)

---

http://matkafasi.com/16411/sonsuz-toplamda-siralamanin-onemi-2 

Belki alakasız şu an. Ama dursun burada.

---

Aradığınız Yakup beynine şu an ulaşılamıyor, lütfen daha sonra tekrar deneyiniz. Bu taktikle bir soruyu çözmüştüm, şu an onu hatırlamaya çalışıyorum. O da sizin sorudaki hatalı alana giriyorsa yazarım.

Answer 1

Sorunun lisanstaki pratik yöntemini bilmediğimden, bir hocamın "amele yöntemi" olarak adlandırdığı muhteşem taktikle soruyu çözdüm :)

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-8n}{8^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{8^n}-8\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{8^n}$ olarak iki parçaya ayıralım. İlk olarak payının derecesi $1$ olan parçayı çözmek kolay...

$-8(\frac{1}{8}+\frac{2}{8^2}+\frac{3}{8^3}+...+\frac{n}{8^n}+...)\\=-8((\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+...)+(\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+...)+(\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+\frac{1}{8^5}+...)+...)\\=-8(\frac{1}{8}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}+\frac{1}{8^2}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}+\frac{1}{8^3}.\frac{1}{1-\frac{1}{8}}+...)\\=-8.\frac{8}{7}(\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+...)\\=-8.\frac{8}{7}.\frac{1}{8}.\frac{8}{7}=-\frac{64}{49}$ 

Bulduktan sonra payının derecesi $2$ olan, biraz daha zor parçaya geçelim. İşlemler biraz uzun olabilir, şimdiden uyaralım :)

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{8^n}=\frac{1}{8}+\frac{2^2}{8^2}+\frac{3^2}{8^3}+... \\=\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+...\Rightarrow\frac{1}{8}.\frac{8}{7}\\\ \ \ \ \ \ \ +\frac{3}{8^2}+\frac{3}{8^3}+\frac{3}{8^4}+...\Rightarrow\frac{3}{8^2}.\frac{8}{7}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\frac{5}{8^3}+\frac{5}{8^4}+\frac{5}{8^5}+...\Rightarrow\frac{5}{8^3}.\frac{8}{7} \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ._{._{.}}\\\ \\=\frac{8}{7}(\frac{1}{8}+\frac{3}{8^2}+\frac{5}{8^3}+...+\frac{2n-1}{8^n}+...)\\=\frac{8}{7}(\frac{1}{8}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+...) \Rightarrow \frac{8}{7}.\frac{1}{8}.\frac{8}{7}=\frac{8}{49} \\\ \ \ \ +2.\frac{8}{7}(\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+...) \Rightarrow 2.\frac{8}{7}.\frac{1}{8^2}.\frac{8}{7}=\frac{128}{49}.\frac{1}{8^2}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2.\frac{8}{7}.(\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+\frac{1}{8^5}+...) \Rightarrow 2.\frac{8}{7}.\frac{1}{8^3}.\frac{8}{7}=\frac{128}{49}.\frac{1}{8^3}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ._{._.}\\\ \\=\frac{8}{49}+\frac{128}{49}(\frac{1}{8^2}+\frac{1}{8^3}+\frac{1}{8^4}+...)\\=\frac{8}{49}+\frac{128}{49}.\frac{1}{8^2}.\frac{8}{7}=\frac{8}{49}+\frac{16}{343}=\frac{72}{343}$

Böylece 2. parçayı da bulmuş olduk. İki parçayı toplayalım...

$\frac{72}{343}-\frac{64}{49}=-\frac{376}{343}$

Buluruz. Sabırla okuduğunuz için teşekkürler :)

Answer 2

$\displaystyle \sum _{n=0}^\infty\frac{n^2-8n}{8^n}=\sum _{n=0}^\infty\frac{n^2}{8^n}-8 \sum _{n=0}^\infty\frac{n}{8^n}$ olarak iki parçaya ayıralım.

$n^2.x^n=((x^n)'.x)'.x$ ve

$n.x^n=(x^n)'.x$ olduğundan;

$|x|<1$ için,

$\displaystyle \sum _{n=0}^\infty n^2.x^n=(\frac{d}{dx}((\frac{d}{dx}\sum _{n=0}^\infty x^n).x)).x=\frac{x+x^2}{(1-x)^3}$ ve

$\displaystyle \sum _{n=0}^\infty n.x^n=(\frac{d}{dx}\sum _{n=0}^\infty x^n).x=\frac{x}{(1-x)^2}$ olmalıdır. 

Not: Videoda Sercan hocanın da söylediği gibi, türevleri bulmayı okuyucuya bırakıyoruz :)

$x=\frac{1}{8}$ verip ifadede yerine koyarsak, 

$\displaystyle \sum _{n=0}^\infty\frac{n^2}{8^n}-8 \sum _{n=0}^\infty\frac{n}{8^n}=\frac{\frac{1}{8}+(\frac{1}{8})^2}{(1-\frac{1}{8})^3}-8.\frac{\frac{1}{8}}{(1-\frac{1}{8})^2}=-\frac{376}{343}$

buluruz.

Comments

En azından bu soru için sağlanıyormuş :)

---

Sercan hocam, anlamadığım şey neden $\displaystyle \sum _{n=0} ^ \infty n.x^n=\sum _{n=0} ^ \infty ((x^n)'.x)$ şeklinde değil de sorudaki şekliyle yazdık ?