A herhangi bir küme. $X = Sym A$ . Kanıtlayın: $f \mapsto f^{-1}$ X'in bir eşleşmesidir ve kendi kendisinin tersidir.

Question

$A$ herhangi bir küme olsun. X = Sym A, $A$'nın eşleşmelerinden oluşan küme olsun.

Kanıtlayın: $f \mapsto f^{-1}$ kuralıyla verilmiş fonksiyon $X$'in bir eşleşmesidir ve kendi kendisinin tersidir.

Bir kanıt yaptım, cevapta bulacaksınız. Acaba yaptığım kanıt doğru mudur? Başlangıç aşamasında olduğum için çok dikkat etmiyorum fakat, yazım kurallarını öğrenmem gerek.

Answer 1

$a :  f \mapsto f^{-1}$ olsun.

Her $g \in X$ için $g$ bir eşleşmedir. O halde $g^{-1}$ vardır. Ve $g^{-1}$ biriciktir.

$a$ bire-birdir, çünkü; her $g \in X$, $g^{-1}$ ile eşleşir.

$a$ örtendir, çünkü: her $g^{-1} \in X$ için $g$ vardır.

O halde, $a$ bir eşleşmedir. ($a \in X$)


Varsayalım ki, $a \neq a^{-1}$ yada $a \circ a \neq Id_{X}$.

$a \circ a = Id_{X}$ göstermeyi başarırsam bir çelişki elde ederim.

$g \in X$ olsun.

$a(g) = g^{-1}$ olur.
$a(g^{-1}) = g$ olur. ($(g^{-1})^{-1} = g$)

O halde $a \circ a = Id_{X}$ eşitliği doğrudur. Ve çelişki elde ettim.
Demek ki, $a \neq a^{-1}$ yanlış.

Yani $a = a^{-1}$.

Comments

Guzel. Birkac yorum:

Fonksiyonun iyi tanimli olmasiyla baslamissin. Guzel. Her zaman bunu yapman gerekmez, eger elindeki fonksiyonun iyi tanimli oldugu barizse. Ama burada bir cumleyle de olsa iyi tanimliliktan bahsetmek guzel olmus.

Birebirlik kismini cok iyi yazamamissin bence. Sunu gostermeyi dene: $g^{-1}= h^{-1}$

 ise $g = h$'dir. 

Ortenlik kisminda da su daha iyi olabilir belki: her $g \in X$ icin oyle bir $h$ vardir ki $a(h) = g$ olur.

Iki durumda da ${(g^{-1})}^{-1} = g$ esitligini kullanabilirsin.

$a \in X$ demissin? Anlamadim.

Son olarak. En son kisimda sunu gostermek istiyordun $a \circ a = Id_X$ ve tam olarak da bunu gosterdin. Butun kanitlari celiski ile yapmak zorunda degilsin. Sunu soylemek istiyorum: Son cumlene bak. Yani $a = a^{-1}$. Bunu zaten direkt olarak gosterdin, $a \neq a^{-1}$ varsayimini hic kullanmadan. Gorebiliyor musun? Cok acik anlatamamis olabilirim.

Bir de son olarak (benim kendi gorusum) burada yaptigin gibi, sorunun tam cozumunu degil de kanitinin dogrulugunu/yanlisligini sormak istiyorsan; bence ayri bir cevap olarak yazma. Cunku soru cevaplanmis gibi gozukuyor. Ben, mesela, bakmayacaktim bu soruya nasil olsa cevaplanmis diye. Ustelik cevaplanmamis sorular ksimindan da cikiyor o zaman soru ve sorun kimse tarafindan cevaplanmadan sitenin arka taraflarina dogru ilerleme tehlikesi yasayabiliyor.

---

Son paragrafa katiliyorum. Bir oncekine, bir oncekine, bir oncekine de, ...

---

Özgür ve Sercan hocalarım, öncelikle yorumlarınız ve zaman ayırdığınız için teşekkürler. Önerilerinizi ve eleştirilerinizi dikkate alacağım.