$A/\mathfrak q \ne 0$ ve $A/\mathfrak q$ icerisindeki her sıfır bölen sıfırgüçlü ise $\mathfrak q$ ideali asallıdır

Question

$A$ bir halka olsun. 

Tanim: (asalli ideal) $\mathfrak q$ idealine asallıdır diyeceğiz eğer $\mathfrak q \ne A$ ise ve her $xy \in \mathfrak q$ için $x\in \mathfrak q$ ya da bir $n>0$ tam sayısı için $y^n \in \mathfrak q$ ise.

Sav: $\mathfrak q$ ideali asallıdır ancak ve ancak $A/\mathfrak q \ne 0$ ve $A/\mathfrak q$ icerisindeki her sıfır bölen sıfırgüçlü ise.

Asallı oldugunu kabul edersek
ilk koşul olan $A/\mathfrak q \ne 0$ sağlanır çünkü $q \ne A$.
ikinci koşul için $y+\mathfrak q \ne 0+ \mathfrak q$ olacak sekilde bir $y \in A$ elemani alalim ve $y+\mathfrak q$ elemani $A/\mathfrak q$ icerisinde sifir bolen olsun. Bu durumda $x+\mathfrak q \ne 0+\mathfrak q$ olacak sekilde bir $x+\mathfrak q$ elemani vardir ki $$(x+\mathfrak q)(y+\mathfrak q)=0+\mathfrak q$$ olur. Yani $$xy \in \mathfrak q$$ olur. Bu durumda $$x \in \mathfrak q \;\;\;\text{ ya da } \;\;\; \text{ bir $n>0$ tam sayisi icin } y^n\in \mathfrak q$$ yani $$x+\mathfrak q=0+\mathfrak q\;\;\;\text{ ya da } \;\;\; \text{ bir $n>0$ tam sayisi icin } y^n+\mathfrak q=0+\mathfrak q$$  olmali. Ilkinin dogru olmadigini kabul ettigimizden yukaridaki pozitif $n$ tam sayisi icin  $$(y+\mathfrak q)^n=0+\mathfrak q$$ olmali.  Bu da $y+\mathfrak q$ elemaninin $A/\mathfrak q$ icerisinde sifirguclu olmasi demek.

Soru: Diger kismini nasil gosterebiliriz?

Comments

 (Affınıza  sığınarak); bu soruyu alıştırma olsun diye mi sordunuz yoksa ispatta bir  yerde sıkıntı yaşadığınız icin mi? 

---

Kendime alistirma gibi. Ara ara Atiyah'in ispatlarini yapmayi planliyorum. (kendim, bir sekilde). Bu sav dedigim tanimin akabindeki bir cumle aslinda.

---

sorudaki $q$ sembolünü nasıl yazdınız?

---

\mathfrak ile        

---

sağol Sercan.

---

Sercan'ın yazdığının üzerine sağ tıklayıp "Show Math as"e basarak da görebilirsin.

---

Çok Sağol Özgür. Bunu öğrendiğim iyi oldu.

Answer 1

$A/q\neq 0$ olduğundan $q\neq A$. $xy\in q$ ve $x\notin q$ olsun.(Yani; $x+q\neq 0+q$). Buradan $(x+q)(y+q)=0+q$ ve eğer $y+q=0+q$ ise $y^{1}\in q$ olur ispat biter. Şayet $y+q\neq 0+q$ ise $y+q\in A/q$ bir sıfır bölen  ve  kabülden sıfır güçlü elemandır. Bu durumda $(y+q)^{n}=0+q$ olacak şekilde bir $n\in \Bbb{N}$ vardır. Bu ise ispatı tamamlar.