Eğer bir $f$ fonksiyonu $n$ kez türevlenebiliyorsa, $f^{(n)}(x)$ hâlâ bir fonksiyon mudur?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
697 kez görüntülendi

Soru 1)  "Eğer bir $f$ fonksiyonu $n$ kez türevlenebiliyorsa" bu cümlede tam anlatılmak istenen nedir? yani bir fonksiyonunun $n$ kez türevlenebilmesi ne demektir? Yani $n$ kez türevleniyor da noluyor? $n$ kez türevlenince 0 olmadığını mı demek istiyoruz?

Soru 2)Fonksiyonların türevleri ve integralleri hâlâ bir fonksiyon mudur? Evet biliyorum sitede biraz geçti bahsedildi ancak tam bir inceleme yapalım ? Ben bu incelemeyi yaparım ama yol göstermeniz gerekiyor abilerim ,ablalarım ,hocalarım :)





2, Temmuz, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu

qnq' larımıda ekleseydin oraya cevabını verecektim..

Türevin tanımı limit ile veriliyor bildiğin gibi. Bir noktada o limit varsa, limit biricik (unique) olmak zorunda olduğu için, türev o noktada iyi tanımlıdır. Dolayısıyla evet fonksiyondur.

Diyelim elinde bir fonksiyon var. Türevini aldın. Bu da (en azından kendini belirli bir aralığa kısıtladığında) bir fonksiyon oldu. Bir daha türevini almak isteyebilirsin. Türev var mı yok mu? Yani o türevin tanımındaki limit var mı yok mu? Eğer bir noktada bu limit varsa o zaman o noktada o fonksiyon iki kere türevlenebilir. Eğer aralıktaki her noktada bu türev varsa, o fonksiyon o aralıkta iki kere türevlenebilir. Ve tabii ki ikinci türev yine bir fonksiyon olur. 

Ama bazen bir fonksiyon alırsın. İstediğin belirli bir aralıkta bu fonksiyon bir kere türevlenebilir. Ama ikinci kez türev aldığında bir nokta türevlenebilirliği bozar.

Sıfır olmakla ya da olmamakla alakası yok. Aslında eğer bir yerden sonra türev sıfır oluyorsa, o fonksiyon sonsuz kere türevlenebilir demektir. Çünkü sıfır fonksiyonunun türevi sıfırdır.

@Ozgur beyin türev için açıklamaya çalıştığı durumu, integral içinde aynı şekilde düşünebiliriz. İntegrallenebilir bir fonksiyonun integrali de bir fonksiyondur. Yeniden integrallenebilirliği verilenlerle ilgili olarak değişecektir. Ama sürekli(Ardışık) integrallenebiliyorsa her seferinde elde edilen bir öncekinin ilkeli olduğundan birer fonksiyondur.

Değerli yorumlarınız için Teşekkürler, türevi/integrali alınacak fonksiyonların aralıklarının kısalma ,uzanma açısından kesin şeyler diyebilir miyiz? iç noktalardaki sıkıntılı/tanımsız noktaların olmadıgı varsayımıyla.

ek olarak n kez türevlenebilme ile ilgili mutlu olamadım(tatmin olamadım malesef , kafam almıyor) 0 olmak dedınız @Ozgür ama tam bir tanımlama yapabilmek mümkünatlı mı?

1)Sıfır olmak demedim. Sıfır olmakla alakası yok dedim.

2) $[0,1]$ kapalı aralığını al. $c \in [0,1]$ olsun. Ve $f: [0,1] \to \mathbb{ R}$ bir fonksiyon olsun. Şimdi eğer 

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$ limiti varsa $f$ fonksiyonu $c$ noktasında türevlenebilir diyoruz ve bu limitin değerini $f'(c)$ ile gösteriyoruz. Yukarıdaki limit varsa, bir reel sayıya eşit. Ve $f'(c)$ bu reel sayıyı gösteriyor. Eğer her $c \in [0,1]$ için bu limit varsa, o zaman $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığındaki her noktada türevlenebilir denir. Ya da kısaca $[0,1]$ aralığında türevlenebilir denir. Buraya kadar tamam mı?

3) Şimdi diyelim ki $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında türevlenebilir olsun. Bu ne demek? Tekrar ediyorum: her $c\in [0,1]$ için bir $f'(c)$ sayısı olması demek. Bu da fonksiyonun tanımı. Tanım kümendeki her $c$ elemanı için bir sayı vermek demek, tanım kümenden bir fonksiyon yazmak demek. Yani elinde bir fonksiyon var: $f':[0,1] \to \mathbb{R}$ fonksiyonu her $c\in [0,1]$ için yukarıda tanımladığımız $f'(c)$ değerini veriyor.

4) Şimdi elimize bu $f'$ fonksiyonunu alıyoruz ve ikinci seçeneğe geri dönüyoruz. Elimizde $f'$ fonksiyonu var. Bir $c \in [0,1]$ seçelim. $$lim_{x\to c} \frac{f'(x) - f'(c)}{x-c}$$ limitine bakalım. Bu limit var mı? Eğer bu limit varsa, limite $f''(c)$ diyelim. Eğer bu limit her $c\in [0,1]$ için varsa $f'$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında türevlenebilir diyoruz (madde 2). Ve $f$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında iki kere türevlenebilir diyoruz.

5) Şimdi de madde 3'ü tekrarlıyoruz. Ve $f'': [0,1] \to \mathbb{R} $ fonksiyonu elde ediyoruz. Ve tekrar madde 2'ye dönüp deminden beri yaptığımızı bu ikinci türeve uygulayıp üçüncü türevi elde ediyoruz. 

Olay bundan ibaret. Bir fonksiyon ile başla. Madde 2'yi ve Madde 3'ü uygula. Başarılı olduysan başa dön ve Madde 2'yi ve Madde 3'ü uygula. Başarılı olduysan başa dön. Ve böyle devam et.

Yukarıda $[0,1]$ aralığı yerine istediğin alt kümesini alabilirsin reel sayıların. Tabii ki pratikte bir aralık alıyorsun. Ya da bazen bütün reel sayıları alıyorsun. Bir örnek verelim:

$f :[-1,1] \to \mathbb{R}$ fonksiyonu $x\leq 0$ için $-x^2/2$ olarak tanımlansın. Ve $x>0$ için $x^2/2$ olarak tanımlansın.

Bu fonksiyon verilen aralıktaki her noktada türevli. Neden? Sıfır dışındaki bölgelerde bir polinom gibi, polinomlar da türevlenebilir. Sıfırda da Madde 2'deki limiti sağdan ve soldan alırsak, limitin olduğunu ve bu limit değerinin sıfıra eşit olduğunu görebiliriz. Sana alıştırma olsun bu. Şimdi bu fonksiyonun türevlenebilir olduğunu söyledik. Türevi de şuna eşit: $x\leq 0$ için $-x$ ve $x \geq 0$ için ise $x$. Ama bu tam olarak mutlak değer fonksiyonu. Demek ki $f$ fonksiyonuna Madde 2 ve Madde 3'ü uygulayıp mutlak değer fonksiyonunu elde ediyoruz. Yani $f$ bir kere türevlenebilir $f'(x) =  |x|$. Ama biliyoruz ki mutlak değer fonksiyonu Sıfırda türevlenebilir değil. Yani $f'$ fonksiyonu $[-1,1]$ aralığında türevli değil. Dolayısıyla bu aralıkta $f$ fonksiyonu bir kez türevlenebilir ama iki kez türevlenemez.


Oldu mu biraz daha?

okudum,teşekkür ederiz.

Teşekkürler , zaten 0 olmak derken olmak ve olmamakla alakası yok demenıze atıf yaptım .

...