Simetrik Grubun Otomorfizmaları

2 beğenilme 0 beğenilmeme
205 kez görüntülendi

$n$ herhangi bir doğal sayı ya da isterseniz herhangi bir ordinal olmak üzere $S_n = \mathrm{Sym}(n)$ grubunun otomorfizma grubu nedir?

İlginç bir cevabı var.

27, Haziran, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Ozgur (2,098 puan) tarafından  soruldu

Lisans kategorisi için

Mühendislik ve temel bilimler matematik dersleri, giriş seviyesinde matematik bölümü dersleri ile ilgili sorular.

yazıyor. Orta seviye matematik bölümü dersleri ile ilgili sorular içinse akademik kategorisi öneriliyor. Eğer soru yanlış kategorideyse editörler taşıyabilirler.

Bildigim kadariyla $n=6$ icin $[\text{Aut}(S_6):\text{Inn}(S_6)]=2$ ve (sonlu) digerleri icin $1$. Ordinal kismini da dusunmek gerek. $\text{Inn}$ her turlu icinde de :)

"İlginç bir cevabı var." derken ne kastedilmisti. Ben pek anlamadim.

Altı dışında (ve 2 ama o zaten sıkıcı ) her şey için geçerli. Ama altı istisna.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$n\neq 2, 6$ iken $\mathrm{Aut}(S_n)=S_n$ oluyor. Bu şu sayfada verilmiş.

https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups

Referans yok bu sayfada ama sanırım

Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Graduate Texts in Mathematics 163, Berlin, New York

da vardır bu. Başka bir sayfada var diyor. Kitap şu an yanımda yok, bakamadım. $S_{\infty}$ için the bütün otomorfizmalar inner oluyor. Bu da 

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group#CITEREFSchreierUlam1937

sayfasında var. Orijinal makale Almanca ama kısa. Sözlükle okunabilir herhalde.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28128.pdf

$n=6$ 'le ilgili birçok ilginç makale var anladığım kadarıyla. Belki bilen biri daha uzun yazar bu durumun neden değişik olduğunu. 

2, Temmuz, 2016 Ergun Yalcin (174 puan) tarafından  cevaplandı
2, Temmuz, 2016 Ozgur tarafından seçilmiş

$\mathrm{Aut}(S_n)$ için yazdığım sonucun bir sayfalık güzel bir ispatını buldum. Ilgilenenler için

http://www.ams.org/journals/bull/1940-46-06/S0002-9904-1940-07261-1/S0002-9904-1940-07261-1.pdf


...