Verilen dizi hangi sayıya yakınsar?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

Kaynak: http://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/64/8

$a_1=2$, 

$n  \ge 1$ için 

$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+8)$

Bu dizi bir L sayısına yakınsar. L nin değerini bulunuz.

19, Haziran, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde suitable2015 (3,919 puan) tarafından  soruldu

linke bakmadan çözmüştüm biraz baktım bu şekilde çözülmüş sanırım (tam anlayamadım linkteki şeyi), keşke farklı bir yöntem bulabilseymişim dedim.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$a_1=2$ ise 

$a_2=5$

$a_3=13/2$

$a_4=39/4$


yani ardışık terimler arası artış hep $1/2 kat$ azalıyor,$a_1$  ve  $a_2$ arası 3 iken sonra 3/2 sonra 3/4 .......... diye gidiyor.


yani

$a_2=2+3$

$a_3=2+3+3/2$

$a_4=2+3+3/2+3/4$

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}a_n=2+\underbrace{3+3/2+3/4+........+\dfrac{3}{2^{(n-2)}}}_{3(\underbrace{1+1/2+1/4+1/8+.....}_{2})}=8}}$      olur.

19, Haziran, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
19, Haziran, 2016 suitable2015 tarafından seçilmiş
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Eger dizinin yakinsagini kabul edersek limit aldigimizda $$L=\frac12(L+8)$$ olur. Buradan $L=8$ gelir.

Dizinin yakinsakligini iki adim ile gosterebiliriz. 
1) Dizinin terimleri her zaman $8$ degerinden kucuktur. 
$a_1<8$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2<(8+8)/2=8$.
2) Dizi artandir.
$a_2>a_1$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2>(a_n+a_n)/2=a_n$.

Bu ikisi bize dizinin monoton yakinsaklik teoremi ile limit sahibi oldugunu verir. 

19, Haziran, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
19, Haziran, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

abı oradan nasıl  L=8 geldi?

Icerde $2$ degil, $8$ var.

Odaklanma sorunum var ,sorunun mantıgından cok senın yaptıgına odaklandım, haklısınız .Zarif çözüm ,ben ,benım sorumda şans eseri tesbit ettim, böylece bu tarz çözüm ile daha genel çözümleri analize edebiliriz.

...