Kaynak: http://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/64/8
$a_1=2$,
$n \ge 1$ için
$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+8)$
Bu dizi bir L sayısına yakınsar. L nin değerini bulunuz.
linke bakmadan çözmüştüm biraz baktım bu şekilde çözülmüş sanırım (tam anlayamadım linkteki şeyi), keşke farklı bir yöntem bulabilseymişim dedim.
$a_1=2$ ise $a_2=5$$a_3=13/2$$a_4=39/4$yani ardışık terimler arası artış hep $1/2 kat$ azalıyor,$a_1$ ve $a_2$ arası 3 iken sonra 3/2 sonra 3/4 .......... diye gidiyor.yani$a_2=2+3$$a_3=2+3+3/2$$a_4=2+3+3/2+3/4$$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}a_n=2+\underbrace{3+3/2+3/4+........+\dfrac{3}{2^{(n-2)}}}_{3(\underbrace{1+1/2+1/4+1/8+.....}_{2})}=8}}$ olur.
Eger dizinin yakinsagini kabul edersek limit aldigimizda $$L=\frac12(L+8)$$ olur. Buradan $L=8$ gelir.Dizinin yakinsakligini iki adim ile gosterebiliriz. 1) Dizinin terimleri her zaman $8$ degerinden kucuktur. $a_1<8$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2<(8+8)/2=8$.2) Dizi artandir. $a_2>a_1$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2>(a_n+a_n)/2=a_n$.Bu ikisi bize dizinin monoton yakinsaklik teoremi ile limit sahibi oldugunu verir.
abı oradan nasıl L=8 geldi?
Icerde $2$ degil, $8$ var.
Odaklanma sorunum var ,sorunun mantıgından cok senın yaptıgına odaklandım, haklısınız .Zarif çözüm ,ben ,benım sorumda şans eseri tesbit ettim, böylece bu tarz çözüm ile daha genel çözümleri analize edebiliriz.