Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
797 kez görüntülendi

Kaynak: http://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/64/8

$a_1=2$, 

$n  \ge 1$ için 

$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+8)$

Bu dizi bir L sayısına yakınsar. L nin değerini bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.9k puan) tarafından  | 797 kez görüntülendi

linke bakmadan çözmüştüm biraz baktım bu şekilde çözülmüş sanırım (tam anlayamadım linkteki şeyi), keşke farklı bir yöntem bulabilseymişim dedim.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$a_1=2$ ise 

$a_2=5$

$a_3=13/2$

$a_4=39/4$


yani ardışık terimler arası artış hep $1/2 kat$ azalıyor,$a_1$  ve  $a_2$ arası 3 iken sonra 3/2 sonra 3/4 .......... diye gidiyor.


yani

$a_2=2+3$

$a_3=2+3+3/2$

$a_4=2+3+3/2+3/4$

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}a_n=2+\underbrace{3+3/2+3/4+........+\dfrac{3}{2^{(n-2)}}}_{3(\underbrace{1+1/2+1/4+1/8+.....}_{2})}=8}}$      olur.

(7.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Eger dizinin yakinsagini kabul edersek limit aldigimizda $$L=\frac12(L+8)$$ olur. Buradan $L=8$ gelir.

Dizinin yakinsakligini iki adim ile gosterebiliriz. 
1) Dizinin terimleri her zaman $8$ degerinden kucuktur. 
$a_1<8$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2<(8+8)/2=8$.
2) Dizi artandir.
$a_2>a_1$ ve tumevarim adimi ile $a_{n+1}=(a_n+8)/2>(a_n+a_n)/2=a_n$.

Bu ikisi bize dizinin monoton yakinsaklik teoremi ile limit sahibi oldugunu verir. 

(25.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

abı oradan nasıl  L=8 geldi?

Icerde $2$ degil, $8$ var.

Odaklanma sorunum var ,sorunun mantıgından cok senın yaptıgına odaklandım, haklısınız .Zarif çözüm ,ben ,benım sorumda şans eseri tesbit ettim, böylece bu tarz çözüm ile daha genel çözümleri analize edebiliriz.

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,876 kullanıcı