Kare matrislerde çarpmayla ilgili verilen teoremi ispatlayınız.

Question

$A_{i\times i}=\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3& \cdots& a_i \\a_6&a_7&a_8&\cdots&a_{2i}  \\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{3i}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots\\ a_{(i^2-i+1)}&a_{(i^2-i+2)}&a_{(i^2-i+3)}&\cdots& a_{i^2} \end{matrix} \right]$

$B_{j\times j}=\left[ \begin{matrix} b_1 & b_2 & b_3& \cdots& b_j \\b_6&b_7&b_8&\cdots&b_{2j}  \\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{3j}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots\\ a_{(j^2-j+1)}&a_{(j^2-j+2)}&a_{(j^2-j+3)}&\cdots& a_{j^2} \end{matrix} \right]$

$-------------------------------------------$

Sayısal değer olarak $x=y$ ancak $A$ matrisindeki $a_i$ ler ve $B$ matrisindeki $b_j$ ler  her $a_i=b_j$ için doğru olmak zorunda olmadığından ve oradaki iç koordinantlar bu $a_i$  ve  $b_j$ leri ayırdığından kordinantsal ve matris adresi olarak ayrılmış oldu ve gayet açık oldu.

Lemma:

$A_{i\times i}$     ve    $B_{j\times j}$            kare matris olarak tanımlansın.


$AB$ çarpımını aşşağıdaki gibi  $AB=[a_{i_n}][b_{j_m}]$ gibi yazabiliyorsak 

$BA$ çarpımı $BA=[a_{j_m}][b_{i_n}]$  şeklinde yazabiliriz.

$\boxed{\boxed{x=y \quad\text{dir farklı yazmam sadece koordinantları ayırmak içindir bu haliyle işe yarar bir teoremdir.}}}$

$A.B=\left( \begin{array}{cccc}a_{(i_1)}b_{(j_1)} & a_{(i_2)}b_{(j_2)} & a_{(i_3)}b_{(j_3)} &  \cdots & a_{(i_x)}b_{(j_y)} \\a_{(i_{x+1})}b_{(j_{y+1})} & a_{(i_{x+2})}b_{(j_{y+2})} & a_{(i_{x+3})}b_{(j_{y+3})} &\cdots & a_{(i_{2x})}b_{(j_{2y})} \\a_{(i_{2x+1})}b_{(j_{2y+1})} &a_{(i_{2x+2})}b_{(j_{2y+2})}& \ddots & a_{(i_{2x+n})}b_{(j_{2y+m})} & \vdots\\\vdots & \vdots& & \ddots\\ a_{(i_{(x^2-x+1)})}b_{(j_{(y^2-y+1)})} & a_{(i_{(x^2-x+2)})}b_{(j_{(y^2-y+2)})} & \cdots & & a_{(i_{(x^2)})}b_{(j_{(y^2)})}  \end{array} \right)$



$BA=\left( \begin{array}{cccc}b_{(i_1)}a_{(j_1)} & b_{(i_2)}a_{(j_2)} & b_{(i_3)}a_{(j_3)} &  \cdots & b_{(i_x)}a_{(j_y)} \\b_{(i_{x+1})}a_{(j_{y+1})} & b_{(i_{x+2})}a_{(j_{y+2})} & b_{(i_{x+3})}a_{(j_{y+3})} &\cdots & b_{(i_{2x})}a_{(j_{2y})} \\b_{(i_{2x+1})}a_{(j_{2y+1})} &b_{(i_{2x+2})}a_{(j_{2y+2})}& \ddots & b_{(i_{2x+n})}a_{(j_{2y+m})} & \vdots\\\vdots & \vdots& & \ddots\\ b_{(i_{(x^2-x+1)})}a_{(j_{(y^2-y+1)})} & b_{(i_{(x^2-x+2)})}a_{(j_{(y^2-y+2)})} & \cdots & & b_{(i_{(x^2)})}a_{(j_{(y^2)})}  \end{array} \right)$

Matrisin ortasındaki $m$ ve $n$ sayıları :   $m,n<x$   koşulundadır.

Teoremi destekleyen örnekler;

$A=\left[ \begin{matrix}a_1 & a_2\\ a_3&a_4 \end{matrix} \right]$

$B=\left[ \begin{matrix} b_1&b_2 \\ b_3&b_4 \end{matrix} \right]$

$A.B=\left[ \begin{matrix} ax+bz&ay+bt \\cx+dz &cy+dt \end{matrix} \right]$


$B.A=\left[ \begin{matrix} ax+cy&bx+dy \\ az+ct&bz+dt \end{matrix} \right]$



Ve 

$A= \left[ \begin{matrix} a_1&a_2&a_3\\  a_4&a_5&a_6  \\ a_7&a_8&a_9 \end{matrix} \right]$


$B= \left[ \begin{matrix} b_1&b_2&b_3\\  b_4&b_5&b_6  \\ b_7&b_8&b_9 \end{matrix} \right]$


$BA=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_4b_2+a_7b_3\;,&a_2b_1+a_5b_2+a_8b_3\;,&a_3b_1+a_6b_2+a_9b_3\\  a_1b_4+a_4b_5+a_7b_6\;,&a_2b_4+a_5b_5+a_8b_6\;,&a_3b_4+a_6b_5+a_9b_6  \\  a_1b_7+a_4b_8+a_7b_9\;,&a_2b_7+a_5b_8+a_8b_9 \;,&a_3b_7+a_6b_8+a_9b_9 \end{matrix}\right]$


$AB=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_2b_4+a_3b_7\;,&a_1b_2+a_2b_5+a_3b_8\;,&a_1b_3+a_2b_6+a_3b_9\\  a_4b_1+a_5b_4+a_6b_7\;,&a_4b_2+a_5b_5+a_6b_8\;,&a_4b_3+a_5b_6+a_6b_9  \\  a_7b_1+a_8b_4+a_9b_7\;,&a_7b_2+a_8b_5+a_9b_8 \;,&a_7b_3+a_8b_6+a_9b_9 \end{matrix}\right]$


Dikkat edilicek husus:

$A_{i\times i}$ ise  terimleri dizerken $a_{(1,1)}$ den $a_{(1,i)}$ ye kadar $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},.....,a_{n}$ diye dizmeliyiz....

Comments

$AB$ ve $BA$ için toplam sembolüyle göstermek, her terim numarasının daha detaylı adresını vermek için biraz daha uğraşmam gerek yakında onu da eklerım.

Answer 1

Teoremi destekleyen örnekler;

$A=\left[ \begin{matrix}a_1 & a_2\\ a_3&a_4 \end{matrix} \right]$

$B=\left[ \begin{matrix} b_1&b_2 \\ b_3&b_4 \end{matrix} \right]$

$A.B=\left[ \begin{matrix} ax+bz&ay+bt \\cx+dz &cy+dt \end{matrix} \right]$


$B.A=\left[ \begin{matrix} ax+cy&bx+dy \\ az+ct&bz+dt \end{matrix} \right]$



Ve 

$A= \left[ \begin{matrix} a_1&a_2&a_3\\  a_4&a_5&a_6  \\ a_7&a_8&a_9 \end{matrix} \right]$


$B= \left[ \begin{matrix} b_1&b_2&b_3\\  b_4&b_5&b_6  \\ b_7&b_8&b_9 \end{matrix} \right]$


$BA=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_4b_2+a_7b_3\;,&a_2b_1+a_5b_2+a_8b_3\;,&a_3b_1+a_6b_2+a_9b_3\\  a_1b_4+a_4b_5+a_7b_6\;,&a_2b_4+a_5b_5+a_8b_6\;,&a_3b_4+a_6b_5+a_9b_6  \\  a_1b_7+a_4b_8+a_7b_9\;,&a_2b_7+a_5b_8+a_8b_9 \;,&a_3b_7+a_6b_8+a_9b_9 \end{matrix}\right]$


$AB=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_2b_4+a_3b_7\;,&a_1b_2+a_2b_5+a_3b_8\;,&a_1b_3+a_2b_6+a_3b_9\\  a_4b_1+a_5b_4+a_6b_7\;,&a_4b_2+a_5b_5+a_6b_8\;,&a_4b_3+a_5b_6+a_6b_9  \\  a_7b_1+a_8b_4+a_9b_7\;,&a_7b_2+a_8b_5+a_9b_8 \;,&a_7b_3+a_8b_6+a_9b_9 \end{matrix}\right]$


Dikkat edilicek husus:

$A_{i\times i}$ ise  terimleri dizerken $a_{(1,1)}$ den $a_{(1,i)}$ ye kadar $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},.....,a_{n}$ diye dizmeliyiz....