Eleman sayısı çift olan her grup mertebesi $2$ olan bir eleman içerir.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
497 kez görüntülendi
20, Ocak, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
20, Ocak, 2015 Salih Durhan tarafından yeniden etikenlendirildi

3 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
Grubun eleman sayısı 2n olsun. Birim dışında 2n-1 eleman var. Bu durumda bir elemanın tersi kendine eşit yani mertebesi 2.
20, Ocak, 2015 alionur (69 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 1 beğenilmeme
Sylow teoremine göre, grubun mertebesi 2 olan altgrupları vardır. Bu altgruplarda (aslında sadece bir tane altgrup olduğu da Sylow teoreminden çıkarılabilir) birim eleman olmayan elemanın mertebesi 2dir.
27, Ocak, 2015 Riemann (310 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

cevap.pdf (54 kb)

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: cevap.pdf

17, Mart, 2015 Handan (1,516 puan) tarafından  cevaplandı

$G$ grubunun tersi kendisine eşit olan en az bir elemanının varlığını nereden biliyoruz acaba?

Benim vermiş olduğum cevap icin mi yazdınız anlayamadım ama, grupta en azından birim elemanın tersi kendisine eşittir.

Link olarak verdiğiniz pdf 'deki ispatta böyle bir durum var. Grubun birimi $e$ olmak üzere $A\cup\{e\}\subset G$ denilmiş ve $a\neq e$ olmak üzere $a=a^{-1}$ olacak şekilde en az bir $a\in G$ den söz edilmiş.Bunun neden daima var olduğunu sormuştum.

Şimdi yoldayım Mehmet hocam, gün içinde açıklayıcı bir cevap vereceğim. Grubun eleman sayısının çift olmasını da düşünelim.

Teşekkürler.

$G$ çift mertebeden bir grup yani; $\mid G \mid=2m$ olacak şekilde bir $m$ pozitif tamsayısı vardır.

$e\neq a\in G$ olmak üzere $\mid G \mid =2m$ olduğundan $a^{2m}=e$. Buradan $(a^{m})^2=e$ elde edilir. $b=a^m$ diyelim. $b^2=e$ ise her iki tarafın $b^{-1}$ ile işlemlenmesi sonucu $b=b^{-1}$ elde ederiz. 


Diğer soru: $\mid A\cup \{e\} \mid=\mid A\mid +1$ (çünkü $e\notin A$) olduğundan $A\cup \{e\}$ kümesi $G$'nin öz alt kümesi olur, yani eşitlik sağlanmaz. Çünkü $G$ çift mertebeden bir grup.

Güzel.Emeğine ve eline sağlık.Teşekkürler.

Rica ederim.

...