X ve Y herhangi iki küme (boş küme de olabilir) olmak üzere
α, X'den Y'ye bağıntı:⇔α⊆X×Y
Aşağıdaki iki önermeyi doğru kılan α bağıntısına X'den Y'ye bir fonksiyon denir.
1) (∀x∈X)(∃y∈Y)((x,y)∈α)
2) (∀x∈X)(∀y,z∈Y)[((x,y)∈α∧(x,z)∈α)→y=z]
Şimdi X=Y=∅ alalım ve boş kümeden boş kümeye tanımlı bağıntıyı φ ile gösterelim. O halde φ⊆∅×∅=∅ olduğundan φ=∅ olacaktır.
(∀x∈∅)(∃y∈∅)((x,y)∈φ)≡∀x[x∈∅→(∃y∈∅)((x,y)∈φ)]≡1 yani birinci önerme doğru.
[((x,y)∈∅∧(x,z)∈∅)→y=z]≡[(0∧0)→y=z]≡1 yani ikinci önerme de doğru olur. O halde φ:∅→∅ bağıntısı bir fonksiyondur ve buna boş fonksiyon denir.
Gelelim şimdi boş fonksiyonun bir birebir eşleme olduğunu göstermeye. Bunun için boş fonksiyonun birebir ve örten olduğunu göstermeliyiz.
(∀x1,x2∈∅)[x1≠x2→φ(x1)≠φ(x2)]≡1 yani boş fonksiyon birebir.
(∀y∈∅)(∃x∈∅)((x,y)∈φ)≡1 yani boş fonksiyon örten.
O halde boş kümeden boş kümeye tanımlı boş bağıntı bir fonksiyondur. Hem de birebir ve örten bir fonksiyondur.