Question

$1\neq 0$ oldugunu akademik düzeyde ispatlayın.

Comments

$1$ ve $0$ sayıları gerçel sayı, rasyonel sayı, tamsayı ve doğal sayı olmasına göre ispat değişir.

---

Nasıl değiştiğinden biraz bahseder misiniz? Ve kompleks için bir ispatı var mıdır?

Answer 1

$0$ ve $1$ doğal sayı olsun. Bu durumda $0=[\emptyset]$ ve $1=[\{a\}]$ yazabiliriz. Doğal sayıları sonlu kümelerin oluşturduğu $\mathcal{A}$ ailesi üzerinde tanımlı $$\beta=\{(A,B)|(\exists f\in B^A)(f, \text{ bijektif})\}\subseteq\mathcal{A}^2$$

denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıfı olarak tanımladığımı belirteyim.

Doğal sayılarda eşitlik $[A],[B]\in\mathbb{N}$ olmak üzere

$$[A]=_{\mathbb{N}}[B]:\Leftrightarrow (\exists f\in B^A\cup A^B)(f,\text{ bijektif})$$ şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla iki doğal sayının eşit olmaması 

$$[A]\neq_{\mathbb{N}}[B]:\Leftrightarrow (\forall f\in B^A\cup A^B)(f, \text{ bijektif değil})$$

anlamına gelecektir. O halde kuralı ne olursa olsun

$$f:\emptyset\to\{a\}$$

fonksiyonu bijektif olmadığından boş kümenin denklik sınıfının temsil ettiği doğal sayı ile tek elemanlı $\{a\}$ kümesinin denklik sınıfının temsil ettiği doğal sayı birbirinden farklıdır. Yani

$$0=[\emptyset]\neq [\{a\}]=1$$

Comments

$0$ ve $1$ tamsayı ise ispat farklı olacaktır.

---

Bijektif fonksiyonu tanımladınız ve her dogal sayının farklılıgını gosterdınız ve 0 ve 1 i de başta dogal sayı kabul ettıgımızden $0\neq 1$ bulduk türkçe olarak böyle değil mi hocam :)

Aynı tarzdaki işlemleri tam sayılara yapıp ta $0\neq1$ i neden ispatlayamıyoruz(aynı şekilde.)?

$\boxed{\text{Elinize Sağlık}}$

---

http://matkafasi.com/79131/dogal-sayilardan-baslayarak-tamsayilar-kumesini-kurabilirim?show=79131#q79131

---

link için teşekkürler.