Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
358 kez görüntülendi

Her k tek doğal sayısı ve her pozitif n doğal sayısı için, 1k+2k++nk nın 1+2++n ile bölünebildiğini gösteriniz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 358 kez görüntülendi
k tek sayısı için xk+yk nın x+y ile bölünebilmesi olgusu kullanılabilir diye düşünüyorum: Seride bir baştan, bir sondan terimleri toplayarak toplamın n(n+1)/2 ile bölünebildiğini kanıtlayabiliriz sanırım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Alper Çay hocamın gösterdiği yönde işlemler yapabiliriz. k=1 iken durum açıktır. k3 tek sayıları için devam edeceğiz.

S=1k+2k++nk diyelim.

2S=nm=0[mk+(nm)k]


2S=nm=1[mk+(n+1m)k]


toplamlarını oluşturalım. k tek pozitif tam sayı olduğu için xk+yk ifadesi (x+y) çarpanı içerir. Bu özelliği kullanarak, (1) de m+(nm)=n olup n2S ve (2) de m+(n+1m)=n+1 olup (n+1)2S elde edilir. obeb(n,n+1)=1 olduğundan n(n+1)2S bulunur. n(n+1) çift sayı olduğundan n(n+1)2S
yazabiliriz. Göstermek istediğimiz de buydu
(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,802 kullanıcı