Alper Çay hocamın gösterdiği yönde işlemler yapabiliriz.
k=1 iken durum açıktır.
k≥3 tek sayıları için devam edeceğiz.
S=1k+2k+⋯+nk diyelim.
2S=n∑m=0[mk+(n−m)k]
2S=n∑m=1[mk+(n+1−m)k]
toplamlarını oluşturalım.
k tek pozitif tam sayı olduğu için
xk+yk ifadesi
(x+y) çarpanı içerir. Bu özelliği kullanarak,
(1) de
m+(n−m)=n olup
n∣2S ve
(2) de
m+(n+1−m)=n+1 olup
(n+1)∣2S elde edilir.
obeb(n,n+1)=1 olduğundan
n(n+1)∣2S bulunur.
n(n+1) çift sayı olduğundan
n(n+1)2∣S
yazabiliriz. Göstermek istediğimiz de buydu
◼