Lineer Cebir - Giriş - Minkowski Eşitsizliği

1 beğenilme 0 beğenilmeme
583 kez görüntülendi

$u=(u_1,\cdots,u_n)$ için

\[\|u\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n u_i^2}\] olmak üzere

\[\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|\] olduğunu gösteriniz.

19, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

geçen sorucaktım ama vikipedide kanıtı var diye sormadım
https://tr.wikipedia.org/wiki/Minkowski_e%C5%9Fitsizli%C4%9Fi

Buraya aktar, burada da olsun. Senin icin sordum soruyu zaten. 

hocam p=2 iken mutlak'ını buluyoruz, p=3 olsaydı neyı bulucaktık? işlevi ne olurdu?

Neyin mutlagini buluyoruz? Sorularini genisletmen mumkun mu?

1)genişletmek derken açıklama bâbında mı?

2)n=2 ve p=2 iken x,y koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgına mutlak dıyoruz,

3)n=3 ve p=2 iken x,y,z koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgını buluyoruz ve buna da mutlak dıyelım
:
:
k)n=n ve p=2 iken  $\underbrace{x,y,z,.........,}_{n\;tane}$ koordinattaki bir noktanın orjıne uzaklıgını buluyoruz ve buna da mutlak  dedim.

Bunlara norm deniliyor, hepsine. Norm olabilmesi icin, bazi sartlari saglamsi gerekiyor, bu da bu sartlardan birisi, ucgen esitsizligi. Su an bunu daha gostermedigimizi varsayarsak buna norm da diyemeyiz, cunku norm olabilmesi icin ucgen esitsizligi sart. 

Wiki - Norm

hocam devamı gelicek mi? 

Gelecek...         

teşekkürler, sevgiler ,saygılar ,selamlar

hocam devamı gelmedı :(

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$||u+v||=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i }$


$(||u+v||)^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i $

$-------------------------$

$||u||+||v||=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2}+\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2}$


$(||u||+||v||)^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2+2.\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2.\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2} $


$(||u+v||)^2$   ve      $(||u||+||v||)^2$  ifadelerinde  $\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n v_i^2$  ortak oldugundan

 
$2.\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i^2.\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2} $    ve     $2.\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i.v_i $  arasındaki ilişkiyi incelemek gerekir .

bu ifadeler tam olarak "Cauchy Eşitsizliğidir" 

http://matkafasi.com/78388/mathbb-displaystyle-right-cauchy-esitsizligi-kanitlayin

buradan yola çıkarak

$(||u+v||)^2\le (||u||+||v||)^2$  buluruz ve $||u+v||$ her zaman pozitiv olduğundan rahatça karaköklerini alabiliriz ve dolayısıyla.



$\boxed{\boxed{\boxed{||u+v||\le ||u||+||v||}}}$  ispatlanır $\Box$

19, Mayıs, 2016 Anil (7,670 puan) tarafından  cevaplandı
20, Mayıs, 2016 Sercan tarafından seçilmiş
...