Cebirsel bir genişleme arasında kalan tamlık bölgesi bir cisimdir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
164 kez görüntülendi

Bir $E$ cismi ve bu cismin cebirsel (algebraic) bir $F$ cisim genişlemesini alalım. $D$ tamlık bölgesi (integral domain) de bu iki cismin arasında kalsın: \begin{equation} E\subset D\subset F \end{equation} Bu durumda $D$ aslında bir cisimdir. Buradaki cebirsel genişleme şartı önemli, örneğin \begin{equation} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{Q}(X) \end{equation} için $\mathbb{Q[X]}$ bir cisim değildir.

16, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,072 puan) tarafından  soruldu

İki şey arasında kalınmaz mı? Bir genişleme arasında kalmak ne demek?

Başlık kısmını çok teknik terimlerle doldurmak istemedim hocam, gerekli açıklama sorunun içeriğinde mevcut. Nitekim cevap da vermişsiniz :)

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Motivasyon 1: $\alpha \in F$ ile genisletirsek. Minimal polinomu $xf(x)+1=0$ seklinde olsun (ters monik hali). O zaman $\frac 1\alpha=f(\alpha) \in D$.

Motivasyon 2: $0 \neq \alpha \in D$ elemaninin minimal polinomuna $p(x)$ dersek, indirgenemez olacagindan kendisinin kati olmayan her polinomla en buyuk ortak boleni $1$ olacak. Yani her $(u(x),p(x))=1$ icin $a(x),b(x) \in E[x]$ var ki $$a(x)u(x)+b(x)p(x)=1.$$ Eger $x=\alpha$ koyarsak yukaridaki denkleme: $a(\alpha)=\frac 1{u({\alpha})}$ olur. Ters elemanimizi elde etmis oluruz.

Ek olarak da: Eger $p|u$ ise $u(\alpha)=0$ olacagindan, bu durum icin ters eleman aramamiz manasiz olur.

Ispat:  $0 \neq d \in D$ ($d$ cebirsel ve minimal polinomu var ) ise ...(yukaridaki islemler) .. $d^{-1} \in D$ olur.

16, Nisan, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
16, Nisan, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
Sonlu cebirsel genislemeler basittir
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\alpha$ elemanı $F$ cismi üzerine cebirsel bir elemansa $$F[\alpha]=F(\alpha)$$ olur. Diyelim ki $x\in D$. O halde $x$ elemanı $F$ üzerine cebirsel olur çünkü $E$ cisminin bir elemanı. Yani $$F(x)=F[x]\subseteq D.$$

16, Nisan, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sercan Hocamın çözümüne benzer bir çözüm de şöyle:

$D$'den $0$'dan farklı bir $\alpha$ elemanı alalım. $\alpha\in F$ ve $F$ cismi $E$ cismi üzerinde cebirsel olduğundan bir $p(X)=c_0+c_1X+\dots+c_nX^n\in E[X]$ polinomu için $p(\alpha)=0$ yani \begin{equation} c_0+c_1\alpha+\dots+c_n\alpha^n=0\end{equation} olur. $c_0\neq 0$ olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, \begin{equation} \alpha(-\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1})=1\end{equation} olur. Kolayca görülebilir ki \begin{equation} -\frac{c_1}{c_0}-\dots-\frac{c_n}{c_0}\alpha^{n-1}\in D\end{equation} O halde $D$'deki $0$'dan farklı her elemanın $D$ içinde tersi var, yani $D$ bir cisim.

18, Nisan, 2015 Enis (1,072 puan) tarafından  cevaplandı
...