Question

$\text{Aut}_{\ \mathbb{Q}} (\mathbb{R})$ grubunu belirleyin.

Comments

Hatta $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$'ye otomorfizma sadece $1$'i sabitlese bile birim otomorfizmasi olmak zorunda. Cunku $1$'i sabitlemek tum rasyonel sayilari sabitlemeye denk geliyor burda.

Answer 1

$f$ böyle bir otomorfizma olsun.

Eğer $x>0$ ise $f(x)>0$ olur (neden?) ve dolayısıyla $f$ $\mathbb{R}$ deki sıralamayı korumak zorundadır. Eğer bir $x\in \mathbb{R}$ için $f(x) > x$ ise, $x< q < f(x)$ olacak şekilde bir $q\in \mathbb{Q}$ seçersek, $f$ sıralamayı korduğundan $f(x) < q$ olur ve bir çelişki elde ederiz. Benzer şekilde $f(x) < x$ olamayacağı da görülebilir. Dolayısıyle her $x\in \mathbb{R}$ için $f(x)=x$ olmalıdır.

Answer 2

Diyelim ki, $\sigma\in\mathbb{R}$ bir otomorfizma olsun. Pozitif bir $x$ reel sayısı alalım, yani $x>0$ olsun. Burada, $x>0$ olduğundan, öyle bir $y$ bulabiliriz ki, $x=y^2$ eşitliğini sağlasın. Buradan, $\sigma(x)=\sigma(y^2)=\sigma(y)^2>0$ bulunur, yani $\sigma(x)>0$ eşitsizliği elde edilir ki, bu da bize $\forall x>0$ için $\sigma(x)>0$ sonucunu verir, yani $\sigma$ pozitifleri pozitiflere gönderir sonucu çıkar buradan. 

Şimdi, $a<b$ olacak şekilde iki reel sayı alalım. $a<b$ olduğundan $b-a>0$ olur. Buradan, $\sigma(b)-\sigma(a)=\sigma(b-a)$. Yukarıda bulduğumuz, $\sigma$ pozitifleri pozitiflere götürür sonucunu göz önünde bulundurursak eğer, $\sigma(b)-\sigma(a)=\sigma(b-a)>0$ elde ederiz, ki bu da bize $\sigma(b)-\sigma(a)>0$ yani $\sigma(a)<\sigma(b)$ sonucunu verir. Yani, seçtiğimiz $a<b$ için $\sigma(a)<\sigma(b)$ bulmuş olduk ki, bu da bize $\sigma$'nın artan olduğu sonucunu verir.

Şimdi, herhangi bir $n$ doğal sayısı alalım, biz bu $n$ doğal sayısını, $1+1+\cdots+1=n$ şeklinde yazabiliriz. Bu da bize, $\sigma(n)=n$ eşitliğini verir. Aynı zamanda, herhangi $c,d\in\mathbb{N}$ sayıları için, herhangi bir rasyonel $r$ sayısını $r=\frac{c}{d}=cd^{-1}$ şeklinde yazabiliriz. Bu da bize, herhangi bir $r\in\mathbb{Q}$ için, $\sigma(r)=r$ eşitliğini verir.

Şimdi, $z\in\mathbb{R}$ ve $m,n\in\mathbb{Q}$ sayılarını alalım. Rasyonel sayıların, reel sayılarda yoğun olduğunu bildiğimiz için, $m<z<n$ eşitsizliğini yazabiliriz. Bu da bize, $m<\sigma(z)<n$ eşitsizliğini verir. Buradan, yeteri kadar küçük seçilen $n-m$ farkı için, $\sigma(z)=z$ buluruz ki, buradan da $\sigma$'nın sürekli olduğu sonucunu elde ederiz. Bu da bize $\sigma(1)=1$ sonucunu verir.

Sonuç olarak, bu da bize Aut$_\mathbb{Q}(\mathbb{R})=1$ (birim eleman) grubunu verir.