Aşağıdaki sonsuz serinin toplamını hesaplayalım:
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \text{arccot}(2n^2) \]
arckotanjant fonksiyonu ile arctanjant arasındaki $\text{arccot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ ilişkisini kullanarak genel terimi yazalım:
\[ a_n =\text{arccot}(2n^2)= \arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) \]
$\arctan$ fark formülünü ($ \arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy} $) kullanabilmek için terimler üzerinde alicengiz oyunları yapalım:
\[ \frac{1}{2n^2} = \frac{2}{4n^2} = \frac{2}{1 + (4n^2 - 1)} = \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)} \]
Bu durumda genel terim bir fark haline gelir:
\[ a_n =\text{arccot}(2n^2)= \arctan(2n+1) - \arctan(2n-1) \]
Serinin ilk $k$ teriminin kısmi toplamını ($S_k$) yazalım:
\begin{align*} S_k &= \sum_{n=1}^{k} \left[ \arctan(2n+1) - \arctan(2n-1) \right] \\ &= \left( \arctan 3 - \arctan 1 \right) \\ &\quad + \left( \arctan 5 - \arctan 3 \right) \\ &\quad + \left( \arctan 7 - \arctan 5 \right) \\ &\quad \dots \\ &\quad + \left( \arctan(2k+1) - \arctan(2k-1) \right) \end{align*}
Birbirini götüren terimlerden sonra geriye sadece ilk ve son terim kalır: \[ S_k = \arctan(2k+1) - \arctan 1 \]
Sonsuz toplamı bulmak için $k \to \infty$ limitini alalım:
\[ S = \lim_{k \to \infty} \left( \arctan(2k+1) - \arctan 1 \right) \]
Burada: \[ \lim_{k \to \infty} \arctan(2k+1) = \frac{\pi}{2} \quad \text{ve} \quad \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \]
Sonuç olarak: \[ S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} \text{arccot}(2n^2) = \frac{\pi}{4} \]