$\displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2x}=0$ gelmesindeki hata nerede?

Question

Sorulan Soru:  $$\displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2x}$$ integralini hesaplayiniz. 

Verilen Cevap: Ilk olarak $\sin^2x+\cos^2 x=1$ oldugunu hatirlayalim. $$\displaystyle\int \frac{dx}{1+3\sin^2x}=\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2x+4\sin^2x}=\displaystyle\int \frac{\sec^2x\;dx}{1+4\tan^2x}$$ $u=2\tan x$ donusumu uygularsak $du=2\sec^2x\;dx$ olur $$=\dfrac12\displaystyle\int \frac{du}{1+u^2}=\frac12\arctan(u)+c=\frac12\arctan(2\tan x)+c$$ olur. ($c$ sabit).

Bu durumda $$\displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2x}=\left[\frac12\arctan(2\tan x)\right]_{x=0}^{x=\pi}=0$$ olur.

Ilginc olan: $$\frac{1}{1+3\sin^2 x} \ge \frac14$$ olmasi bize $$\displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2x} \ge \displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{4}=\frac{\pi}4$$ oldugunu veriyor. Fakat $$0 \ge \frac{\pi}4$$ olmasi absurt.

Soru:

1) Hata nerede? (Neden?)
2) Bu hatayi yine bu donusmu uygulayarak nasil duzeltebiliriz? (Neden?)

Comments

sorun son basamakta. x değerleri yerine konulunca $\frac{1}{2}(arctan(0)-arctan(0))$ geliyor. $arctan(0)$, $[0,\pi]$ aralığında tek değere sahip değil. Kesin bir şekilde bu çıkarımdan sonuç $0$ dır denmesi bile ilginç sanki. Sorun şöyle düzeltilebilir sanırım.. $arctan(tanx)=x$ ise $arctan(2tanx)=x+y$ gibi bir açıdır.

$\left[\frac{1}{2}arctan(2tanx)\right]_{x=0}^{x=\pi}=\left[ \frac{1}{2}(x+y) \right]_{x=0}^{x=\pi}=\frac{\pi}{2}$

---

Zaten integral alirken aradaki degerlere bakmiyoruz ki? Uc noktalardaki farklari aliyoruz.


Ayrica $y$ sabit olmak zorunda mi? Belki $x$'e bagli? Her fonksiyonu $z=x+y$ olarak yazabiliriz ve $y=z-x$ olur.

---

$F(x)=arctan(2tan(x))/2$ fonksiyonu ilgili fonksiyonun bu aralıkta "antiderivative"i olmadığı için sorun çıkıyor. Dikkat edilmesi gereken nokta $F$ fonksiyonunun $\pi/2$ noktasında tanımlı olmadığı. Dolayısıyla $F$ fonksiyonuna $[0,\pi/2)$ ve $(\pi/2,\pi]$ kümeleri üzerinde ayrı ayrı sabitler eklesek bile $[0,\pi]-\{\pi/2\}$ kümesinde aynı türevi elde edeceğiz.

$F$ fonksiyonunu $(\pi/2,\pi]$ aralığında $\pi/2$ birim "yukarı kaydırırsak" ve $\pi/2$ noktasındaki değerini $\pi/4$ olarak tanımlarsak, sorudaki orijinal fonksiyon için aralığın tamamında sürekli olan bir "antiderivative" elde ederiz. Analizin temel teoremini bu antiderivative ile uygularsak da istenen sonucu elde ederiz.

---

Veya $\displaystyle\int_0^\pi\frac1{1+3\sin^2x}\,dx=2\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+3\sin^2x}\,dx$ oluşunu kullanabiliriz.

---

Bir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarparken ya da bölerken çarpacağımız ya da böleceğimiz sayının sıfırdan farklı olması gerekir. Aşağıdaki ifade de en son adıma geçerken pay ve payda $\sec^2 x$ ile çarpılıyor. $[0,\pi]$ aralığında çalıştığımızı ve secant fonksiyonunun $\frac{\pi}{2}$ noktasında tanımlı olmadığını göz önünde bulundurursak buna hakkımızın olmadığını görebiliriz.

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{1}{1+\sin^2 x}dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\cos^2 x+4\sin^2 x}dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{\sec^2 x}{1+4\tan^2 x}dx$$

Answer 1

Bu videoda cevabini anlatmaya calsitim.  Icerigi de aynen, ara yorumlar katarak yaziyorum...

$0$ ile $\pi$ arasinda $\tan x$ fonksiyonunun sureksiz oldugu nokta var. Bu nedenle Hesabin Temel Teoremini burada uygulayamayiz.  

Hatayi Nasil Duzeltebiliriz? $$\displaystyle\int_0^\pi \frac{dx}{1+3\sin^2x}=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+3\sin^2x}+\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{dx}{1+3\sin^2x}$$ (Burada aradaki bir noktadan ikiye ayirdik. Integral degeri varsa buna hakkimiz var) $$=\displaystyle\lim\limits_{c\to{\frac{\pi}{2}}^-}\int_0^{c} \frac{dx}{1+3\sin^2x}+\displaystyle\lim\limits_{d\to{\frac{\pi}{2}}^+}\int_d^{\pi} \frac{dx}{1+3\sin^2x}$$ (Burada uc noktalara limit olarak gittik, has olan bir integralimiz olsa da bu sekilde limit ile yaklasabiliriz ve integral degeri varsa, limit degerine esit olur) $$=\lim\limits_{c\to{\frac{\pi}{2}}^-}\left[\frac12\arctan(2\tan x)\right]_{x=0}^{x=c}+\lim\limits_{d\to{\frac{\pi}{2}}^+}\left[\frac12\arctan(2\tan x)\right]_{x=d}^{x=\pi}$$ (Hesabin temel teoremini uygulayabilecegimiz araliklar uzerinde oldugumuzdan Hesabin temel teoremini kullandik) $$=\lim\limits_{c\to{\frac{\pi}{2}}^-}\left[\frac12\arctan(2\tan c)\right]+\lim\limits_{d\to{\frac{\pi}{2}}^+}\left[-\frac12\arctan(2\tan d)\right]$$ $$=\frac12\cdot\frac{\pi}{2}+\left(-\frac12\right)\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$$ olur.