Yukarıdaki çözümdeki
∫∞−∞cosxxdx
ıraksak olduğundan
∫∞−∞eixxdx
integrali de ıraksaktır (kontür integral tekniği dikkatli kullanılmalıdır).
Bu çözümde
∫∞−∞sinxxdx=π2
eşitliğini Reel analiz metodları ile gösterelim. Kullanacağımız bilgiler:
1) Riemann-Lebesque lemması : f, (a,b) aralığında integrallenen ise,
limp→∞∫baf(x)sinpxdx=0.
2) 12+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(2n+12x)2sinx2.
Sonuncu eşitlikten, her n∈N için
∫π0sin(2n+12x)2sinx2dx=π2
elde edilir.
Ayrıca
1x−12sinx2
fonksiyonunun (0,π) aralığında integrallenen olduğu kolayca görülür.
Riemann-Lebesque lemmasına göre,
limn→∞∫π0(1x−12sinx2)sin(2n+12x)dx=0
olur. Buradan
limn→∞∫π0sin(2n+12x)xdx=limn→∞∫π0sin(2n+12x)2sinx2dx=π2
çıkar (son eşitliği yukarıda hesaplamıştık). Şimdi y=2n+12x dersek,
limn→∞∫2n+12π0sinyydy=π2
buradan da
∫∞0sinyydy=π2
bulunur.
Not: Söz konusu integral birçok kaynakta Laplace dönüşümü yardımıyla formal olarak hesaplanır, fakat uygulanan metod pürüzlüdür.