Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
923 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 923 kez görüntülendi

2 Cevaplar

11 beğenilme 0 beğenilmeme
Yukarıdaki çözümdeki

cosxxdx
ıraksak olduğundan
eixxdx
integrali de ıraksaktır (kontür integral tekniği dikkatli kullanılmalıdır).

Bu çözümde

sinxxdx=π2
eşitliğini Reel analiz metodları ile gösterelim. Kullanacağımız bilgiler:

1) Riemann-Lebesque lemması : f, (a,b) aralığında integrallenen ise,
limpbaf(x)sinpxdx=0.

2) 12+cosx+cos2x+...+cosnx=sin(2n+12x)2sinx2.

Sonuncu eşitlikten, her nN için

π0sin(2n+12x)2sinx2dx=π2
elde edilir.

Ayrıca
1x12sinx2

fonksiyonunun (0,π) aralığında integrallenen olduğu kolayca görülür.

Riemann-Lebesque lemmasına göre,

limnπ0(1x12sinx2)sin(2n+12x)dx=0

olur. Buradan

limnπ0sin(2n+12x)xdx=limnπ0sin(2n+12x)2sinx2dx=π2

çıkar (son eşitliği yukarıda hesaplamıştık). Şimdi y=2n+12x dersek,

limn2n+12π0sinyydy=π2
buradan da

0sinyydy=π2
bulunur.

Not: Söz konusu integral birçok kaynakta Laplace dönüşümü yardımıyla formal olarak hesaplanır, fakat uygulanan metod pürüzlüdür.
(623 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
4 beğenilme 0 beğenilmeme
sinxx fonksiyonu çift olduğundan 0sinxxdx=12sinxxdx dir. sinxxdx=eixxdx ve kompleks kontür integrasyon tekniği ile eixxdx=iπ olarak bulunduğundan 0sinxxdx=π2 dir.
(108 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,725 kullanıcı