Isınan çubuk sorusu

3 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

Bir önceki sorumuzda Sercan hoca ve Anıl fazlasıyla yorulup susamışlardı. Bu seferki sorumuzda Sercan hoca bu probleme harika bir çözüm buluyor, fakat işin matematiği bize kalıyor. Sercan hoca $l_0=200\ cm$ uzunluğundaki $T_0=25\ C^o$ sıcaklığındaki demir çubuğu $T_S=325\ C^o$ sıcaklığındaki ateşle ısıtıyor. Bunun konumuzla ne alakası var derseniz. Isınan çubuk genleşiyor, genleşip boyu $l_S=250\ cm$ olunca odanın lamba anahtarına değip ışığı kapatıyor. $T_t$, çubuğun $t$ anındaki sıcaklığını veren bağıntı olsun. Çubuk $\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{T_S-T_t}{300}\ C^o/sn$ bağıntısına göre ısınıyor. $l_t$, çubuğun $t$ anındaki uzunluğunu veren bağıntı olsun. Çubuk $\Delta l=\frac{l_t. \Delta T}{500}\ cm$ bağıntısına göre uzuyor. Verilen bilgilere göre çubuk ne zaman anahtara değer? Başka bir deyişle Sercan hoca ve Anıl ne kadar süre masa tenisi oynayabilir?

5, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

gene bir konulu soru:)

Şimdi benim korkum Zehra042 ortaya çıkıp sorunu yanlış kategoride sordun der :) Soru hoş ama biraz uğraş.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Madem bir haftadır cevap hatta segili fotonov dışında bir yorum bile yok. İlgi olmadığını söyleyemem 3 beğeni olduğuna göre sanırım birilerinin ilgisini çekmiş sorum. Neyse gelelim sorumuza.

Öncelikle zamana göre değişenleri bulalım, ilki çubuğun sıcaklığı, ikincisi çubuğun boyu. İlk olarak çubuğun sıcaklığını inceliyoruz, çünkü burada sıcaklık bağımsız değişken.

$\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{T_S-T_t}{300}$ bağıntısı için $f:\mathbb{R}-\mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ ve $f(t)=T_S-T_t$ olacak şekilde bir fonksiyon tanımlayalım. Bağıntıda $f$ fonksiyonunu yerine koyarsak $\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t)-f(t+\Delta t)}{\Delta t}=-f'(t)=\frac{f(t)}{300}$ olur. Düzenlersek $\frac{f'(t)}{f(t)}=(ln[f(t)])'=-\frac{1}{300}$ buluruz. Her iki tarafı $dt$'ye göre integre edersek $\displaystyle \int (ln[f(t)])'dt=-\int\frac{1}{300}dt\Rightarrow ln[f(t)]=-\frac{t}{300}+c\Rightarrow f(t)=e^{-\frac{t}{300}}.e^c$ buluruz. $c$ sabit sayısını daha elle tutulur bir hale getirebilmek için başta $f$ fonksiyonu hakkında bildiğimiz $f(0)=T_0$ eşitliğini kullanalım. $f(0)=e^{-\frac{0}{300}}.e^c=e^c=T_S-T_0$ bulmak çok da zor değil. O halde son kararımız, $f(t)=(T_S-T_0).e^{-\frac{t}{300}}$ olmalıdır.

Şimdi gelelim zurnanın detone olduğu yere. Sıcaklığı bulmakta değil, asıl marifet uzunluğu bulmakta. 

$\Delta l=\frac{l_t. \Delta T}{500}$ bağıntısı için öncelikle $g:\mathbb{R}-\mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ ve $g(t)=l_t$ olacak şekilde bir fonksiyon tanımlayalım. Ardından bağıntının her iki tarafını $\Delta t$'ye bölersek $\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{l_t}{500}.\frac{\Delta T}{\Delta t}$ bağıntısını elde ederiz. Bağıntıda $g$ ve önceden tanımladığımız $f$ fonksiyonunu yerine koyarsak $\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{g(t+\Delta t)-g(t)}{\Delta t}=g'(t)=-\frac{g(t)}{500}.f'(t)$ buluruz. Düzenlersek $\frac{g'(t)}{g(t)}=(ln[g(t)])'=-\frac{f'(t)}{500}$ eşitliğini elde ederiz. Her iki tarafı $dt$'ye göre integre edersek $\displaystyle \int(ln[g(t)])'.dt=-\int\frac{f'(t)}{500}dt\Rightarrow ln[g(t)]=-\frac{f(t)}{500}+k \Rightarrow g(t)=e^{-\frac{f(t)}{500}}.e^k$ buluruz. $k$ sabit sayısını biraz daha somutlaştırmak için önceden bildiğimiz $g(0)=l_0$ eşitliğini kullanalım. $g(0)=e^{-\frac{f(0)}{500}}.e^k=l_0\Rightarrow e^k=l_0.e^{\frac{f(0)}{500}}$ bulduk. O halde $g(t)=e^{\frac{-(T_S-T_0).e^{-\frac{t}{300}}}{500}}.l_0.e^{\frac{(T_S-T_0)}{500}}=e^{\frac{(T_S-T_0)(1-e^{-\frac{t}{300}})}{500}}.l_0$ olmalıdır.

Fonksiyonu bulduk. Şimdi geriye kalan tek şey birazcık hesaplama. Bulmamız gereken tek şey $g^{-1}(250)$ değerini bulmak. Bunun için $e^{\frac{300(1-e^{-\frac{t}{300}})}{500}}.200=250$ denkleminde $t$'yi çekip almak gerek. 

$e^{\frac{300(1-e^{-\frac{t}{300}})}{500}}.200=250\Rightarrow \frac{300(1-e^{-\frac{t}{300}})}{500}=ln\frac{5}{4}\Rightarrow e^{-\frac{t}{300}}=1-\frac{5}{3}ln\frac{5}{4}$

$\Rightarrow -\frac{t}{300}=ln(1-\frac{5}{3}ln\frac{5}{4})\Rightarrow t=-300(ln(1-\frac{5}{3}ln\frac{5}{4}))$ olarak sade(!) bir gösterimle $t$'yi buluruz. Hesap makinesinden faydalanılırsa $t=139,51\ sn$ bulunur. Yani Sercan hoca ve Anıl'ın masa tenisi oynamak için $2$ dakika $19$ saniye $51$ salisesi var, iyi eğlenceler :)

11, Mayıs, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı

Gece gece masal niyetine :)

sayende tenıse başlıcam arkadaş . assonra derınlemesıne yorum yaparım:)

Sen yaz ben yarın ona derinlemesine bakayım yarın okul var malum. Cümleten hayırlı geceler, cümleten kelimesini de bahtımıza sen ve benden başka biri daha gelip yorum yazma ihtimaline binaen kullandım, iyi çalışmalar.

benı fılan geçmişsin:)   

Ne konuda geçmişim :)

uzun ve açıklayıcı yazmakta, ama dönüşüm can alıcı olabilir , sen 1senedir tempolusun benım daha 2 ay oldu:) sabır .

Mesele uzun yazmaksa buradaki çözümüm ustalık eserim :) Ona da birinin bakıp eleştirmesi lazım artık ben güvenemiyorum kendime :)

gidip kendini eem de çürütme yaz matematik fizik keyfine bak:) neden keyfine bak? 
eem yaz paralar aksın gelsin ama birzaman sonra işten sıkılıcaksın:D üretecek birşeyler kalmıyacak , bekliyeceksin ki bir fizikçi bir şey keşfetsin sen de onu mekaniğe dökesin:)(nerden bu konuya bağladım bilmiyorum ama gerçekte olsa seni zombi gibi ısırır fizikci yapardım). çözüm'ünü incelemiştim ve etkilenmiştim ,listeye tekrar ekliyeyim birdaha bakarım ama cevabın doğru olmaması yüksek ihtimal:D çözüm mantıgı ise çok güzel.  http://matkafasi.com/74774/star%24%24-star%24%24-star%24%24-dusurme-problemi-star%24%24-star%24%24-star%24%24

buradakı 2. soruya kafa yorabılırsın cok eğlencelı:)


EK: cevap dogru sanırım çünki maximize demışsın birdaha bakayım .

...