Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.9k kez görüntülendi

x[0,1] ve fn(x)=xnn olsun.

 

a) fn in [0,1] uzerinde turevlenebilir bir f fonksiyonuna uniformly yakinsak oldugunu gosterin. f=? 

 

b) fn(x) in x[0,1] olmak uzere g(x) e yakinsadigini gosterin. g(x)=?

 

c)  fn(1)g(1) midir?

 

Akademik Matematik kategorisinde (93 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 2.9k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: X küme, (Y,d) metrik uzay, fn(YX)N ve fYX olmak üzere eğer

(ϵ>0)(xX)(NN)_(nN)(d(fn(x),f(x))<ϵ) önermesi doğru ise (fn)n dizisi, f noktasına (fonksiyonuna) noktasal yakınsıyor denir ve fnnf ile gösterilir. Eğer (ϵ>0)(NN)(xX)_(nN)(d(fn(x),f(x))<ϵ)  önermesi doğru ise (fn)n dizisi, f noktasına (fonksiyonuna) düzgün yakınsıyor denir ve fndf ile gösterilir. Ayrıca aradaki farkı anlamak açısından evrensel ve varlıksal niceleyicilerin sırasına -altı çizili kısımlara- dikkat etmek yeterli. Düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu göstermek çok kolay. (En azından mantık bilenler için)

 

a) Buna göre f:[0,1]R,f(x)=0 olmak üzere

|fn(x)f(x)|=|xnn0|=xnn1n<ϵ

olduğundan her ϵ>0 için N=1ϵ+1N seçilirse her x[0,1] için nN|xnn0|=xnn1n1N=11ϵ+1<11ϵ=ϵ koşulu sağlanır. O halde (fn)n fonksiyon dizisi, f(x)=0 kuralı ile verilen f:[0,1]R fonksiyonuna düzgün yakınsar. N sayısının sadece ϵ'a bağlı olduğunu -x'e bağlı olmadığına- dikkatinizi çekerim. Yani x değiştikçe N değişmiyor. N doğal sayısı her x için iş görüyor. f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan türevlenebilir olduğu da açık.

 

b) (fn)n fonksiyon dizisi,  

g(x)=limnfn(x)=limnxn1={0,0x<11,x=1

kuralı ile verilen g:[0,1]R fonksiyonuna noktasal yakınsar. Bunu da göstermek zor olmasa gerek.

 

c) fn(1)=1=g(1)

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,858,156 kullanıcı