Tanım: X≠∅ küme, (Y,d) metrik uzay, fn∈(YX)N ve f∈YX olmak üzere eğer
(∀ϵ>0)(∀x∈X)(∃N∈N)_(∀n≥N)(d(fn(x),f(x))<ϵ) önermesi doğru ise (fn)n dizisi, f noktasına (fonksiyonuna) noktasal yakınsıyor denir ve fnn⟶f ile gösterilir. Eğer (∀ϵ>0)(∃N∈N)(∀x∈X)_(∀n≥N)(d(fn(x),f(x))<ϵ) önermesi doğru ise (fn)n dizisi, f noktasına (fonksiyonuna) düzgün yakınsıyor denir ve fnd⟶f ile gösterilir. Ayrıca aradaki farkı anlamak açısından evrensel ve varlıksal niceleyicilerin sırasına -altı çizili kısımlara- dikkat etmek yeterli. Düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu göstermek çok kolay. (En azından mantık bilenler için)
a) Buna göre f:[0,1]→R,f(x)=0 olmak üzere
|fn(x)−f(x)|=|xnn−0|=xnn≤1n<ϵ
olduğundan her ϵ>0 için N=⌊1ϵ⌋+1∈N seçilirse her x∈[0,1] için n≥N⇒|xnn−0|=xnn≤1n≤1N=1⌊1ϵ⌋+1<11ϵ=ϵ koşulu sağlanır. O halde (fn)n fonksiyon dizisi, f(x)=0 kuralı ile verilen f:[0,1]→R fonksiyonuna düzgün yakınsar. N sayısının sadece ϵ'a bağlı olduğunu -x'e bağlı olmadığına- dikkatinizi çekerim. Yani x değiştikçe N değişmiyor. N doğal sayısı her x için iş görüyor. f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan türevlenebilir olduğu da açık.
b) (f′n)n fonksiyon dizisi,
g(x)=limn→∞f′n(x)=limn→∞xn−1={0,0≤x<11,x=1
kuralı ile verilen g:[0,1]→R fonksiyonuna noktasal yakınsar. Bunu da göstermek zor olmasa gerek.
c) f′n(1)=1=g(1)