Tanım: $X\neq \emptyset \,\ \text{küme}, \,\ (Y,d)$ metrik uzay, $ f_n \in \left(Y^X\right)^\mathbb{N} \,\ \text{ve} \,\ f \in Y^X$ olmak üzere eğer
$$(\forall \epsilon >0)\underline{(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})}(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$ önermesi doğru ise $(f_n)_n$ dizisi, $f$ noktasına (fonksiyonuna) noktasal yakınsıyor denir ve $$f_{n}\overset{n}{\longrightarrow }f$$ ile gösterilir. Eğer $$(\forall \epsilon >0)\underline{(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)}(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$ önermesi doğru ise $(f_n)_n$ dizisi, $f$ noktasına (fonksiyonuna) düzgün yakınsıyor denir ve $$f_{n}\overset{d}{\longrightarrow }f$$ ile gösterilir. Ayrıca aradaki farkı anlamak açısından evrensel ve varlıksal niceleyicilerin sırasına -altı çizili kısımlara- dikkat etmek yeterli. Düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu göstermek çok kolay. (En azından mantık bilenler için)
a) Buna göre $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=0$ olmak üzere
$$| f_n(x)-f(x)| = \left | \frac{x^n}{n}-0\right | = \frac{x^n}{n}\leq \frac{1}{n}<\epsilon$$
olduğundan her $\epsilon>0$ için $N=\left\lfloor \frac{1}{\epsilon} \right\rfloor +1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $x\in [0,1]$ için $$n\geq N \Rightarrow \left |\frac{x^n}{n}-0\right|=\frac{x^n}{n}\leq \frac1n\leq \frac1N=\frac1{\left\lfloor\frac{1}{\epsilon}\right\rfloor +1}<\frac1{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $(f_n)_n$ fonksiyon dizisi, $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonuna düzgün yakınsar. $N$ sayısının sadece $\epsilon$'a bağlı olduğunu -$x$'e bağlı olmadığına- dikkatinizi çekerim. Yani $x$ değiştikçe $N$ değişmiyor. $N$ doğal sayısı her $x$ için iş görüyor. $f$ fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan türevlenebilir olduğu da açık.
b) $(f'_n)_n$ fonksiyon dizisi,
$$g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x)=\lim\limits_{n\to\infty} x^{n-1}=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & 0\leq x<1 \\ 1 & , & x=1 \end{array}\right.$$
kuralı ile verilen $$g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonuna noktasal yakınsar. Bunu da göstermek zor olmasa gerek.
c) $f'_n(1)=1=g(1)$