Düzgün Yakınsaklık-I

1 beğenilme 0 beğenilmeme
86 kez görüntülendi

Her $n\in\mathbb{N}$ için $$f_n:(0,1)\to\mathbb{R}, \ f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$$ olmak üzere $\langle f_n\rangle$ fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu gösteriniz. $\langle f_n\rangle$ fonksiyon dizisi düzgün yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

1, Mayıs, 1 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  soruldu
2, Mayıs, 2 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}<\epsilon\Leftrightarrow \frac1{\epsilon}<n$$


olduğundan her $\epsilon>0$ için $N:=\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $x\in (0,1)$ ve her $n\geq N$ için

$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}\leq \frac1N=\frac{1}{\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1}<\frac1{\frac1{\epsilon}}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $\langle f_n\rangle$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna düzgün yakınsar. Düzgün yakınsak her fonksiyon dizisi noktasal yakınsak olduğundan $\langle f_n\rangle$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna noktasal olarak da yakınsar.

14, Mayıs, 14 murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  cevaplandı
17, Mayıs, 17 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...