Question

$\dfrac {1} {\sqrt {4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}$ fonksiyonunun tanım kümesi

Answer 1

1) $\frac 1{\sqrt{4-(x^2+y^2+z^2)}}$ olarak duzenliyelim. ($x,y,z \in \mathbb R$ olsun.)

2) $4 \geq x^2+y^2+z^2 \geq 0$ icin tum degerleri alacagi asikara yakin.

3) Demek ki goruntu kumesi $[\frac 12, \infty)$ olmali.

Comments

teşekkürler, bende böyle düşünmüştüm, zaten ama cevaba baktığımda farklı bi notasyon kullanmış yanlış zannettim, yeni anladım notasyonunda bu şekilde verdiğini.

Answer 2

Fonksiyonumuzun tanim kumesine $T \subseteq \mathbb{R}^3$ diyecek olursak ve bu $f: T \to \mathbb{R}$ fonksiyonunu

$$f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2 - y^2 -z^2}}$$

olarak tanimlarsak, $T$ en fazla

$$T = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 < 4\}$$

kumesi olabilir. Cunku,

•  bu $T$ kumesindeki her eleman icin fonksiyonumuz tanimlanabilir. 
  

Ama 

• $x^2 + y^2+z^2 = 4$ olacak sekilde bir $(x,y,z)$ uclusu aldigimizda payda sifir olur. Yani fonksiyonumuz reel sayilara giden bir fonksiyon olarak tanimlanamaz.
  
• $x^2 + y^2+z^2 > 4$ olacak sekilde bir $(x,y,z)$ uclusu aldigimizda, $4 - x^2 -y^2 -z^2$ negatif olur. Dolayisiyla $\sqrt{4 - x^2 -y^2 -z^2}$ ifadesi bir reel sayi tanimlamaz.
  

Demek ki en genis tanim kumemiz $T = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 < 4\}$ olur. Geometrik olarak bakacak olursak, bu kume $\mathbb{R}^3$'te merkezi orijin olan ve yaricapi $2$ olan acik topa (acik yuvara) denk gelmektedir.