Tek noktanın tanımlandığı tanım kümesi olan $f$ fonksiyonunun o , tek noktada sürekliliği

1 beğenilme 0 beğenilmeme
122 kez görüntülendi

Tek noktanın tanımlandığı tanım kümesi olan  $f$ fonksiyonunun  o , tek noktada sürekliliği olabilir mi?

sağdan soldan yaklaşacağı eleman yok , tek nokta olduğu için limit kullanmaya gerek kalmıyor , limit

olmadan süreklilik mi oluyor?

21, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil B.C.T. (7,737 puan) tarafından  soruldu
21, Mayıs, 2016 Anil B.C.T. tarafından düzenlendi

içeriği geyik olabilecek bir konu aç atomov ^^

Bence gayet güzel bir soru. Süreklilik tanımı belirttiğin gibi değil. Şöyle ki:

Tanım: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$ ve $a\in A$ olmak üzere

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Demek ki $$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$ demek $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\ldots (\star)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu $(\star)$ önermesinin biraz daha anlamaya çalışalım ve önermeyi biraz gıdıklayalım.

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}])$$

Burada sürekliliğe küçük bir ara verelim ve biraz mantık yapalım.

$$p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv p'\vee (q'\vee r)\equiv (p'\vee q')\vee r\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r$$ olduğundan 

$$\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}]$$

önermesi yerine

$$[\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\wedge \underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta, a+\delta)}}]\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)}}$$ önermesini yazabiliriz. 

Şimdi süreklilik tanımına kaldığımız yerden devam edebiliriz.

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\wedge x\in (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f(x)\in f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta, a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]$$

Şimdi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli bir fonksiyonun sürekli olması ne demek olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Şöyle ki: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A$ olsun.

Demek ki bir $f$ fonksiyonunun $a$ noktasında sürekli olması demek her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki $A$ kümesi ile $a$'nın $\delta$ komşuluğunun arakesitinde bulunan gerçel sayıların $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün $f(a)$'nın $\epsilon$ komşuluğu tarafından kapsanması anlamına geliyormuş.


Bu bilgiler ışığı altında sorunun cevabını kendin vermeye çalış.

teşekkürler hocam uğraşayım .

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$A=\{a\}\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere $$f:A\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu (kuralı ne olursa olsun) süreklidir. Şöyle ki;

Her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta >0$ sayısı nasıl seçilirse seçilsin

$$f[A\cap (a-\delta,a+\delta)]=f[\{a\}]=\{f(a)\}\subseteq (f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)$$ koşulu sağlanır. O halde $f$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli yani $A$ kümesi üzerinde sürekli olur.

22, Nisan, 2016 murad.ozkoc (9,385 puan) tarafından  cevaplandı
21, Mayıs, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

hocam çok anlayamıyorum, anlamak için ne yapmalıyım?

A kümesi ile $(a-\delta,a+\delta)$ aralıgını nıye kesiştirdik

Neyi anlayamıyorsun? Yorum kısmında yazdıklarımı tekrar okumanı tavsiye ederim.

ben anladıgımı yazıyım, o aralıkta kaç nokta oldugunu hesaplıyoruz ve tek nokta buluyoruz dolayısıyla görüntü için de $\delta$ gibi bir $\epsilon$ tanımlıyoruz ve onun da tekligini gösteriyoruz ama bu zaten bariz değil mi neden yenıden yazdık (işte burayı tam anlamadım)

tamam hocam 2hafta once bakmıştım şımde gene bakıyım . ilginiz için teşekkürler.

Sorularının cevabı yukarıda yorum kısmında yazmış olduğum açıklamalarda mevcut.

...