Question

$A$ sonlu bir küme ve $f:A\rightarrow A$ bire-bir fonksiyon ise $f$ in örten olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$A$ sonlu ve birebir oldugu icin $|A| \leq |f(A)|$ olmali. Zaten $f(A) \subset A$ oldugundan da $|f(A)| \leq |A|$ olmali. Demek ki $f(A)=A$ imis.

Comments

Birde klasik yöntemle çözüm istiyoruz!

---

klasik nedir ki?      

---

Yani değer kümesinden eleman alıp ön görüntü bularak. Hiç anlaşamıyoruz sizinle!

---

ben klasigin ne oldugunu bilmeyecek kadar yeniyim matematikte.. 

Eger bir soru varsa ve dogru da bir cevabi varsa, demek ki anlastigimiz zamanlarda oluyor. Matematiksel olaraktan matematiksel anlasiyoruz gayet.

---

yazarken anlaşamıyoruz. Yoksa matematiksel anlaştığımız muhakkak!

---

Gayet şık ve net. Doğrusu çok hoşuma gitti.

Answer 2

$y\in A$ olsun. Bu durumda $\forall n \geq 1$ için $f^{n}(y)\in A$. Böylece $\{y,f(y),f^{2}(y),...\}\subseteq A$ fakat $A$ sonlu olduğundan bu kümedeki bazı elemanlar eşit olmalı. Genelliği bozmadan $s>t$ için $f^{s}(y)=f^{t}(y)$ olur. Buradan $f^{t}(f^{s-t}(y))=f^{t}(y)$ ($f$ bire-bir ve $f^{t}$ de bire-bir) yani $f^{s-t}(y)=y$ ve $y=f(f^{s-t-1}(y))$ olur ki; aradığımız ön görüntü $f^{s-t-1}(y)\in A$ olacaktır. Yani $f$ örtendir.