Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin ispatı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
27,032 kez görüntülendi

$(sinx)'=cosx$ ve $(cosx)'=-sinx$ eşitlikleri nereden gelir? Normal tanımdan gelir mi yoksa başka bir yolu var mı?

15, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,881 puan) tarafından  soruldu

normal tanımdan kastın türevin limit tanımı mı?

Aynen. Senenin başında denemiştim çıkmamıştı sanırım. Bir daha deneyeyim bir şey bulurum belki.

sinx alttaki gibi,cosx de aynı mantık oyuzden tanx i ispatlayalım diğer cevabımdada arcsinx i  ispatlayayım

6 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

sinx için limit tanımını ben yapayım


$lim_{h \rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}=lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx.cosh+sinh.cosx-sinx}{h}=lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)}{h}+lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinh}{h}.lim_{h \rightarrow 0}.cosx$

http://matkafasi.com/68189/%24-lim_-mu-rightarrow-0-dfrac-sin-mu-mu-1%24-ispatlayiniz
bu linktende faydalanarak

$\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)}{h}}_{sinx.0}+\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}\frac{sinh}{h}}_1.\underbrace{lim_{h \rightarrow 0}.cosx}_{cosx}=cosx$  ispatlanır


15, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker (7,752 puan) tarafından  cevaplandı

tanx eklıyorum hocam ve arcsin ve arc tan yarım saate eklerım umarım:)

Evet dediğim gibi tanımdan geliyormuş tabi sene başında L'hopital falan olmadığı için yarıda kalmışım :) Sırada logaritmikler ve üsteller var senin Taylor serisini bir araştırayım da sorarım :)

Onlara gerek yok. Zaten bolme, zincir kurallarindan geliyor. Hatta $\sin x$ bile yeterli. $\cos x=\sin(\pi/2 - x)$ olarak yazarak da turevini elde edebiliriz.

Ters trigonometrik fonksiyonların ispatını biliyorum ama yine de sitenin bir köşesinde bulunsun :)

Tersleri de  $f^{-1}$'in turevinden bulmaya calisin, $f$'in turevini bilmek yeterli.

Hoca ispatın bir kısmını $f^{-1}$ in türevinden, kalanını üçgenden yapmıştı. Bakalım Anılda farklı bir ispat var mı?

aynen üçgenle yapmıştım bende ınternette yoktu yarım saat ugraşmıştım:)

Ters logaritmik mi, ters trigonometrik mi :)

Ters mi logaritmik? Gözden kaçmış düzelttim hocam :)

Hoca iki eşitlik daha göstermişti ispatlarıyla. Unuttum ama 4 ay falan geçti sanırım sorayım salı günü falan onları da atarım inşallah.

tan(x/2)=t  yöntemi var onuda ispatlayayım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

http://matkafasi.com/68189/%24-lim_-mu-rightarrow-0-dfrac-sin-mu-mu-1%24-ispatlayiniz

tanx için ise

$ \lim_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{tan\theta}{\theta} =\dfrac{\overbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}}^1}{\underbrace{\lim_{\theta \rightarrow 0}cos\theta}_1}=1$


$tan(x+y)=\frac{tanx+tany}{1-tanx.tany}$ bilindigine göre



$ (tanx)'=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{tan(x+h)-tanx}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{tanx+tanh-tanx+tanh.tan^2x}{1-tanh.tanx}}{h}$



$(tanx)'=\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{tanh}{h}}_1.\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{1-tanx.tanh}}_1.\underbrace{\lim_{h \rightarrow 0}(1+tan^2x)}_{1+tan^2x}$

$(tanx)'=1+tan^2x$ ispatlanır.



15, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker (7,752 puan) tarafından  cevaplandı

Kaldı ki bölümün türevinden de bulunuyor. Teşekkürler.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(arcsinx)'$ ispatı

biraz geometri gerektirir.

$arcsinx=y$ dersek

$y'=\frac{dy}{dx}$ bulucağız..


$siny=x$

ve demin ispatladıgımız türevden de faydalanarak;


$\frac{dy}{dx}.cosy=1$


$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosy}$ 


$siny=x$ demiştik dik üçgende gösterirsek 
image


$cosy=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1}$  olur dolayısıyla


$\frac{dy}{dx}=y'=(arcsinx)'=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$    ispatlanır $\Box$

15, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker (7,752 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(arctanx)'=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$  oldugunu ispatlayalım.



$arctanx=y$ ise


$tany=x$ dir

$(tany)'=\frac{dx}{dy}=(1+tan^2y)$ oldugu bılınıyor çarpma işlemine göre ters çevirelim



$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+tan^2y}$  (tany=x) oldugundan

$(arctan)'=y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$    ispatlanır $\Box$ 

15, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker (7,752 puan) tarafından  cevaplandı

Anıl hızına yetişilmiyor maaşallah :) Teşekkürler

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Özellikle integrasyonda çok işlevsen olan $tan(\frac{x}{2})=t$  dönüşümünü ispatlayayım.


$x < 90$  olan bir x açımız olsun
yani
$2a < 90$


image



$\frac{x}{2}=a$ diye düşünüp

$tana=t$ dersek

pisagoru çözersek

$a^2=t^2+(1-a)^2$
--------------------------------
$a=\frac{1+t^2}{2}$

$1-a=\frac{1-t^2}{2}$ gelirler
--------------------------------

$tan(\frac{x}{2})=tana=t$ iken

$cos2a=cosx=\frac{1-k}{k}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$sin2a=sinx=\frac{t}{k}=\frac{2t}{1+t^2}$ gelirler .

15, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker (7,752 puan) tarafından  cevaplandı
16, Nisan, 2016 Anıl Berkcan Turker tarafından düzenlendi
3 beğenilme 0 beğenilmeme

"Mekanik" bir cevap.

$x=\cos t,\ y=\sin t,\quad t\in\mathbb{R}$ (Vektörel olarak $\vec{r}=\cos t\;\vec{i}+\sin t\;\vec{j}$) birim çemberin saatin tersi (pozitif) yönde birim hızda bir parametrizasyonudur. 

Öyleyse teğet vektörü birim uzunlukta, çembere teğet (ve pozitif yöne dönük) olmalıdır. 

Öyleyse (tamamen geometri ile)

$\vec{r}'(t)=(-\sin t)\;\vec{i}+\cos t\;\vec{j}$ olmalıdır.

Burada da  $\sin'=\cos,\ \cos'=-\sin$ olması gerektiği çıkar.

16, Nisan, 2016 DoganDonmez (4,434 puan) tarafından  cevaplandı
...