$R$ birimli ve değişmeli bir halka, $f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} \in R[x]$ olsun. $f(x)$ polinomu $R[x]$'de tersinir ise polinomun sabiti $a_{0}$ elemanının $R$'de tersinir ve $a_{1},\cdots,a_n$ elemanlarının $R$'de sıfır güçlü (nilpotent) olduğunu gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
159 kez görüntülendi


9, Nisan, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Handan (1,495 puan) tarafından  soruldu
22, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^{2}$ ve $g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3\in R[x]$ ve $f(x)g(x)=1$ olsun. Sabit terimlerden $a_0$ ın tersinir olduğu görülür. Şimdi $f(x)$ in başkatsayısının sıfır güçlü olduğunu gösterelim. Böylece $h(x)=f(x)-a_{2}x^{2}$ tersinir olacak ve aynı tartışma $h(x)$ in başkatsayısı olan $a_1$ in sıfır güçlü olduğunu göstermekle devam edecektir. Buna göre
$
 a_0b_0=1\\
 a_0b_1+a_1b_0=0\\
 a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0=0~~~~~~~~(3)\\
 a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1=0~~~~~~~~(4)\\
 a_1b_3+a_2b_2=0~~~~~~~~~~~~~~(5)\\
 a_2b_3=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)\\
$
denklemleri elde edilir. $(5).$ denklemi $a_2$ ile çarpalım. Buradan $a_2^{2}b_2=0$ elde ederiz. $(4).$ denklemi $a_2^{2}$ ile çarptığımızda $a_2^{3}b_1=0$ elde ederiz. $(3).$ denklemi $ a_2^{3}$ ile çarptığımızda $a_2^{4}b_0=0$ elde ederiz. $b_0$ tersinir olduğundan $a_2^{4}=0$ yani $a_2$ sıfır güçlü eleman olarak bulunur.

Bu yöntemi $f(x)$ ve $g(x)$ polinomlarının dereceleri sırasıyla $n$ ve $m$ alındığında da genelleştirmek mümkündür.

22, Mayıs, 2015 Handan (1,495 puan) tarafından  cevaplandı
...