$R$ sonlu, değişmeli ve birimli bir halka olsun. $R$ nin her $I\ne R$ asal idealinin maksimal olduğunu nasıl görebilirim?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
188 kez görüntülendi


26, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Handan (1,516 puan) tarafından  soruldu

ilk olarak bu sorudaki cevaplar okunabilir.

1) $R/I$ bolum idealinin  bir cisim oldugu gosterilebilir.
2) Herhangi bir  $x\not \in I$ icin $<x,I>=R$ oldugu gosterilebilir.

Gerci burda hic asal oldugunu kullanmadim. Herhangibir idealin maksimal ideal oldugunu bu sekilde gosterebiliriz. Asal olanlar icin ek bir yontem varsa bilmiyorum, fakat yok gibi duruyor.

$R/I$ nın cisim olduğunu $R$ cisim olduğu için mi söyleyebildiniz?

Bolum sonlu bir tamlık bölgesi olmuyor mu?

(Daha önce bahsettiğim soru tam o değilmiş)

ilgili sorudaki ilk cevap: $R/I$ cisimdir $\iff$ $I$ ideali $R$ halkasinda maksimaldir.

Oluyor Doğan hocam. Haklısınız. Soruda $ I$ nın asal olması neden verilmiş olabilir? Soru fazla bilgi mi içeriyor?

Sıfır bolensiz olmasi icin

Evet hocam. Aksine örnek $\Bbb{Z_{8}}/<4>$ verilebilir.

Ben sonlulugu gozden kacirmisim bu arada.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$R'=R/I$ SONLU, birim elemanlı  değişmeli ve sıfır bölensiz bir halkadır. Cisim olduğu çok kolay.

$a\in R',\ a\neq0$ olsun. $x\mapsto ax,\ R'\setminus\{0\}\to R'\setminus\{0\}$ (Sıfır bölensiz olduğundan) 1-1 dir. sonlu olduğundan örtendir. $ax=1$ o.ş. bir $x\in R'$ vardır. Böyle bir soru soruldu sanıyorum ama bulamadım.

Ek: Galiba değişmeli varsayımına gerek yok

26, Ağustos, 2015 DoganDonmez (3,699 puan) tarafından  cevaplandı
26, Ağustos, 2015 Handan tarafından seçilmiş

Sonlu tamlık Bölgeleri cisimdir. $R$ değişmeli olursa $R/I$ da değişmeli olur. 

http://matkafasi.com/1009/sonlu-halkalarin-elemanlari?show=1009#q1009

sorusunda (Sercan tarafından sorulup DoganDonmez tarafından!) gösterilmiş.

...