Eşitsizlik Sorusu

Question

$x^2+y^2+z^2=3$ koşulunu sağlayan bütün $x,y,z \ge 0$ gerçel sayıları için;

$$x+y+z \ge x^2y+y^2z+z^2x$$

olduğunu gösteriniz.

Comments

sizin soruya bakış açınız nedir?

---

Ben arkadasimizin diger sorusuna detayli yorum yaptim ama geri donut alamadim. Neden ola ki?

---

belki bulunduğu bölgede "donut" satılmıyordur:S

---

hocam yazım notasyonlarınızı geliştirmelisiniz:)

---

Klavye ingilizce hacim, napayim :) 

Answer 1

$x^2+y^2+z^2=3$ oldugundan



$x+y+z\geq x^2y+y^2z+z^2x$  hertarafı ($x^2+y^2+z^2$) ile çarpalım


$(x+y+z)[x^2+y^2+z^2]\geq (x^2y+y^2z+z^2x)[(x^2+y^2+z^2)=3]$     yani



$(x+y+z)[x^2+y^2+z^2]\geq (x^2y+y^2z+z^2x).3$  solu açıp düzenleyelim 


$x^3+x^2z+xy^2+y^3+yz^2+z^3\geq 2x^2y+2xz^2+2y^2z$  bunu ispatlarsak soruyuda ispatlamış oluruz.


Bunun gibi yaklaşık 10 denklem yazdım ve aritmatik ortalama -geometrik ortalama arasındaki ilişkilere göre modifye etmeğe uğraştım "m.s.e." den aldıgım tek ipucu 
$\frac{x^3+y^2x}{2}\geq \sqrt{x^3.y^2x}=x^2y$   idi.

ispatıda bu
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$(\sqrt a -\sqrt b)^2\geq 0$  burdan 

$a+b-2\sqrt{ab}\geq 0$


$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$                      $A.O.\geq G.O.$  ispatlanır.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
alttakileri taraf tarafa toplarsak

       $\frac{x^3+y^2x}{2}\geq \sqrt{x^3.y^2x}=x^2y$


        $\frac{z^3+x^2z}{2}\geq \sqrt{z^3.x^2z}=z^2x$


        $\frac{y^3+z^2y}{2}\geq \sqrt{y^3.z^2y}=y^2z$

+
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$x^3+x^2z+xy^2+y^3+yz^2+z^3\geq 2x^2y+2xz^2+2y^2z$  Bulunur

bu da zaten bizim için gerekli eşitsizlikti

bu sayede ispatlanmış oldu. $\Box$

Comments

Verdim artini, arastirmaci foton :)

---

teşekkür ederim.

Answer 2

Şart üzerine eğilmek iyi bir fikir olabilir. ($a^2+b^2 \ge 2ab$ kullanmak gibi)

Comments

benım bir çözümüm var mathstackten de yardım aldım dün gece baya ugraşmıştım bu soruya. Assonra atarım çözümü.