f(x)=⌊x⌋ kuralı ile verilen f:R∖Q→R fonksiyonunun sürekli olduğunu süreklilik tanımından hareketle gösteriniz.
Not: ⌊⋅⌋: Tamdeğer fonksiyonu
sevgili murat hocam;X bir küme olmak üzrezaten f:R⟶X olmayan yani tanımlanma kümesi reel olmayan kümelerde süreklilik olmazki tanım noktalarında boşluklar oluşur buda sürekliliğe engeldir yani değeri incelemeğe gerek kalmadan tanım Reel değilde R \ Q ise zaten baştan süreksizdir diyemez miyiz ? neyi yanlış düşünüyorum
tamam hatamı gördüm soruya odaklanıyorum şuanda kusura bakmayın:)
Süreklilik tanımını tekrar gözden geçirmeni tavsiye ederim. Bu bir. İkincisi f(x)=sgnx kuralı ile verilen f:Z→R fonksiyonunun neden sürekli olduğunu anlamaya çalış.
hocam tanımsal değilde türkçe olarak verebilirim bu f(x)=sgnx için ∀x,(x≠0) süreklidirtam değer fonksiyonuda tam sayılar kümesinde tanımlıysa sürekli değildir çünki her tam sayı değeri -3,5 ,2 gibi bu noktalarda limit yoktur. Bundan yola çıkarak f:R−Q⟶Rherzaman süreklidir denilir.öbür sorudaki sıkıntıda burdan kaynaklanıyor rasyonel sayılar tam sayıların üst kümesi olduğundan herzaman sürekli değildir yani süreksizdir diyebiliriz.
Tanım kümesi tamsayılar olan signum (işaret) fonksiyonu 0 noktasında da süreklidir. Signum fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayılar kümesi olursa o zaman signum fonksiyonu 0 noktasında sürekli olmayacaktır. Demek ki bir fonksiyonun sürekli olması ya da olmaması o fonksiyonun kuralına bağlı olduğu gibi fonksiyonun tanım kümesine de bağlıymış.
0 tamsayılardan biliyordum oyuzden öyle düşündüm yoksa tamamen tanıma ve değere önem veriyorum diğer sorunuzda ayrıntılı belirtmeye çalıştım sevgili hocam.
Hangi topolojileri kullaniyoruz. Belirtmeyince direkt cevaptaki gibi kisitlama olarak mi almaliyiz?
Evet. Tanım ve hedef (değer) kümeleri gerçel sayıların birer altkümesi olan fonksiyonların sürekliliğini ya da süreksizliğini incelerken aksi belirtilmedikçe tanım ve hedef kümeleri üzerindeki topolojileri, alışılmış topolojinin (gerçel sayılar kümesi üzerindeki Öklid topolojisinin) o kümelere indirgediği relatif topolojiyi alıyoruz.
f:R∖Q→R,f(x)=⌊x⌋ ve a∈R∖Q olsun.
ϵ>0 olmak üzere 0<δ≤min{a−⌊a⌋,⌊a⌋+1−a} seçilirse
x∈(a−δ,a+δ)∩(R∖Q)⇒|⌊x⌋−⌊a⌋|<ϵ koşulu sağlanır yani
(∀ϵ>0)(∃δ>0)(x∈(a−δ,a+δ)∩(R∖Q)⇒|⌊x⌋−⌊a⌋|<ϵ) önermesi doğru yani f:R∖Q→R fonksiyonu a noktasında sürekli olur. a keyfi olduğundan f fonksiyonu R∖Q kümesi üzerinde süreklidir.
A∩B ve A∖B genel olarak pek "anlamlı" sayılmaz. Alt küme ise alt uzay topolojisi var.
(ayrık iken) A∪B (ye benzeyen ve önemli bir "evrensel" özelliği olan)) bir topolojik uzay tanımını ben şurada sormuş ve cevaplamıştm.
A×B için standart çarpım topolojisi vardır.