Diyafont denklemlerin genel çözümü

Question

  $a,b,x,y,n \in \mathbb{Z}$

  $ax+by=n$  olarak verilen denklemlerin genel çözüm kümesini gösteriniz.

  $Ç.K.=\zeta=${$(x,y)$}

Comments

Çözümü bende var , birileri çözene veya biraz zaman geçene kadar bekliyeceğim.

---

$a,b,n$ nedir? Pozitif tam sayilar mi? Tam sayilar mi?  Rasyonel sayilar mi?

Istenen cozum kumesi nereden? Reel sayilar mi, tam sayilar mi, dogal sayilar mi?

---

diyafont olduğu ve çözüm kümesinde x y değişkenleri oldugundan her işlem tam sayılarda olduğu belli olmalı sanırım oyuzden eklemedim şimdi ekleyeyim

Answer 1

$ax+by=n$ doğrusal diophantine denkleminin var olması için gerek ve yeter koşul $d=obeb(a,b)$ olmak üzere $d|n$ olmasıdır.

daha şık bi soru olabilir zannımca ve bunun üzerine

 

 $x_0$ ve $y_0$ sayıları bu denklemin herhangi bir çözümü ise çözümler $t$ herhangi bir tam sayı olmak üzere 

    $x=x_0+(\frac{b}{d})t$, $y=y_0-(\frac{a}{d})t$

ile belirlenir. 

ifadesiylede süslenebilir..

kanıtına gelince de

$ax+by=n$ denkleminin bir çözümü varsa uygun $x_0$ ile $y_0$ sayıları için $ax_0+by_0=n$ dır.

$obeb(a,b)=d$ olsun. bu durumda $r$ ile $s$ tamsayıları için $a=dr$ ve $b=ds$ dir.

buradan

$n=ax_0+by_0=drx_0+dsy_0=d(rx_0+sy_0)$ bulunur, yani $d|n$ dir. 

tersine $d|n$ olsun.

bu durumda bir $t$ tam sayısı için $n=dt$ yazılabilir.

$obeb(a,b)=d$ olduğundan $ax_0+by_0=n$ olacak şekilde $x_0$ ile $y_0$ tam sayıları vardır. buradan

$n=dt=(ax_0+by_0)t=a(tx_0)+b(ty_0)$ elde edilir.

dolayısıyla $ax+by=n$ diophantine denkleminin bir özel çözümü $x=tx_0$ ve $y=ty_0$ tam sayılarından oluşur. 

sorunun süsleme kısmındaki genel çözümlerin belirlenmesine gelince

eşitliğin bir çözümü $x_0$ ile $y_0$ tam sayıları olsun. $x'$ ile $y'$ tam sayıları denklemin bir diğer çözümü ise

$ax_0+by_0=n=ax'+by' \Rightarrow a(x'-x_0)=b(y_0-y')$ elde edilir.

$a=dr$ ve $b=ds$ olduğundan 

$r(x'-x_0)=s(y_0-y')$ dir.

o halde $r|s(y_0-y')$ dir. $obeb(r,s)=1$ olduğundan $r|(y_0-y')$ olmalıdır. diğer bir ifade ile $t$ tam sayısı için $y_0-y'=rt$ dir. buradan $x'-x_0=st$ bulunur. bu eşitlikler

$x'=x_0+st=x_0+(\frac{b}{d})t$ , $y'=y_0-rt=y_0-(\frac{a}{d})t$ formüllerini oluşturur..