Diyafont denklemlerin genel çözümü

0 beğenilme 0 beğenilmeme
173 kez görüntülendi

  $a,b,x,y,n \in \mathbb{Z}$

  $ax+by=n$  olarak verilen denklemlerin genel çözüm kümesini gösteriniz.

  $Ç.K.=\zeta=${$(x,y)$}

6, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anil (7,700 puan) tarafından  soruldu
6, Nisan, 2016 Anil tarafından düzenlendi

Çözümü bende var , birileri çözene veya biraz zaman geçene kadar bekliyeceğim.

$a,b,n$ nedir? Pozitif tam sayilar mi? Tam sayilar mi?  Rasyonel sayilar mi?

Istenen cozum kumesi nereden? Reel sayilar mi, tam sayilar mi, dogal sayilar mi?

diyafont olduğu ve çözüm kümesinde x y değişkenleri oldugundan her işlem tam sayılarda olduğu belli olmalı sanırım oyuzden eklemedim şimdi ekleyeyim

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
$ax+by=n$ doğrusal diophantine denkleminin var olması için gerek ve yeter koşul $d=obeb(a,b)$ olmak üzere $d|n$ olmasıdır.

daha şık bi soru olabilir zannımca ve bunun üzerine

 
 $x_0$ ve $y_0$ sayıları bu denklemin herhangi bir çözümü ise çözümler $t$ herhangi bir tam sayı olmak üzere 
    $x=x_0+(\frac{b}{d})t$, $y=y_0-(\frac{a}{d})t$
ile belirlenir. 

ifadesiylede süslenebilir..

kanıtına gelince de

$ax+by=n$ denkleminin bir çözümü varsa uygun $x_0$ ile $y_0$ sayıları için $ax_0+by_0=n$ dır.
$obeb(a,b)=d$ olsun. bu durumda $r$ ile $s$ tamsayıları için $a=dr$ ve $b=ds$ dir.
buradan
$n=ax_0+by_0=drx_0+dsy_0=d(rx_0+sy_0)$ bulunur, yani $d|n$ dir. 
tersine $d|n$ olsun.
bu durumda bir $t$ tam sayısı için $n=dt$ yazılabilir.
$obeb(a,b)=d$ olduğundan $ax_0+by_0=n$ olacak şekilde $x_0$ ile $y_0$ tam sayıları vardır. buradan
$n=dt=(ax_0+by_0)t=a(tx_0)+b(ty_0)$ elde edilir.
dolayısıyla $ax+by=n$ diophantine denkleminin bir özel çözümü $x=tx_0$ ve $y=ty_0$ tam sayılarından oluşur. 

sorunun süsleme kısmındaki genel çözümlerin belirlenmesine gelince

eşitliğin bir çözümü $x_0$ ile $y_0$ tam sayıları olsun. $x'$ ile $y'$ tam sayıları denklemin bir diğer çözümü ise
$ax_0+by_0=n=ax'+by' \Rightarrow a(x'-x_0)=b(y_0-y')$ elde edilir.
$a=dr$ ve $b=ds$ olduğundan 
$r(x'-x_0)=s(y_0-y')$ dir.
o halde $r|s(y_0-y')$ dir. $obeb(r,s)=1$ olduğundan $r|(y_0-y')$ olmalıdır. diğer bir ifade ile $t$ tam sayısı için $y_0-y'=rt$ dir. buradan $x'-x_0=st$ bulunur. bu eşitlikler
$x'=x_0+st=x_0+(\frac{b}{d})t$ , $y'=y_0-rt=y_0-(\frac{a}{d})t$ formüllerini oluşturur..
6, Nisan, 2016 merve kaya (1,025 puan) tarafından  cevaplandı
6, Nisan, 2016 Anil tarafından seçilmiş
...