$f(f(x))=f^\prime(x)$ sartini saglayan fonksiyon

Question

$f:\mathbb{R}\to (0,\infty)$ turevlenebilir bir fonksiyon olsun, oyle ki 

$$f(f(x))=f^\prime(x)$$ esitligi her $x \in \mathbb R$ icin saglansin.

Boyle bir fonksiyonun olamayacagini ispatlayiniz?

Comments

http://matkafasi.com/63678/polinom-nedir#a63691
bu ek bilgi köşede dursun;
"her fonksiyon sonlu polinomlardan elde edilir veya her sonlu polinom bir fonksiyondur da denilebilinir."

ifadeyi düzenlersek $fof(x)=f'(x)$  den $f(x)=fof'(x)=f'of(x)$  eşitlikleri çıkar.(sağdan ve soldan tersler alınırsa)

bu eşitliğin herzaman yanlış oldugunu gösterirsem ispatlanmış olunur.


sonlu bir polinomuz olsun $h(x)=h_{0}.x^0+h_{1}.x^1+h_{2}.x^2+h_{3}.x^3+....+h_{n}.x^n$ diye.


ve bunun türevi ise  $h'(x)=h_{1}+2.h_{2}.x+3.h_{3}.x^2+....+n.h_{n}.x^{n-1}$  olur.

$f(x)=h(x)$

$f'(x)=h'(x)$  dönüşümleri yaparsak  ve bu $h(x)$  ve $h'(x)$  leri 

$f(x)=fof'(x)=f'of(x)$ bu eşitlikte yerine koyarsak.



$h_{0}+h_{1}.[h_{1}+2.h_{2}.x+....+n.h_{n}.x^{n-1}]+h_{2}.[h_{1}+2.h_{2}.x+....+n.h_{n}.x^{n-1}]^2+.....+h_{n}[h_{1}+2.h_{2}.x+....+n.h_{n}.x^{n-1}]^n$

                                                                        $\neq$

$h_{1}+2.h_{2}[h_{0}.x^0+h_{1}.x^1+....+h_{n}.x^n]+3.h_{3}[h_{0}.x^0+h_{1}.x^1+....+h_{n}.x^n]^2+.....+n.h_{n}[h_{0}.x^0+h_{1}.x^1+....+h_{n}.x^n]^{n-1}$

buradan ispatlanır.


veya 2. çözüm olarak 

$f(x)$  i yanlız bırakıp tanım ve değer aralığının tutmamasından doğan çelişkidende ispatlanabilinir.

$f(x)=y$ dir $f'(x)=y'=\frac{dy}{dx}$ dir aşşağıda yerine koyarsak.

$fof(x)=f'(x)=\frac{dy}{dx}$   ve dx ,dy yi içler dışlar çarpıp integral alırsak

$\int fof(x).dx=\int dy$  sanırım sol taraf öyle kalır bu cevaptan ekmek çıkmadı malesef.

dipçe:Çok kolay ve zeki olarak tanım aralığından çıkabilir sanıyorum ben ancak bunları yapabildim.

---

dipçe2: 1. ispatta sonundakıler eşit olmaz çunkı tek tek bakıldıgında 0 polinomu gibi birşey oluyor değerde 0 açık aralıkta olduğundan eşitlik hiçbir zaman sağlanamaz.

---

"her fonksiyon sonlu polinomlardan elde edilir" mi? Mesela $\frac1{1-x}$?

---

ozaman polinom dememde tüm katsayıları tam sayılardan oluşan birşey olsun derim gine eşitlik sağlanamaz:) ama bu cevap hoşuma gıtmıyor (benim yaptıgım)  sizin elbet güzel bir çözümünüz vardır merakla bekliyorum.

---

Cozum onemli degil, yapilir elbet.

Tum katsayilari tam sayidan olusmak zorunda da degil. $\frac{1}{1-\sqrt2x}$ mesela ya da $\sqrt{x}$ ya da baska bir fonksiyon.

---

sizin bu soruya bakış açınız nasıl? $(arctan\alpha_{sercanhoca}=?)$

---

<p>
    Hiçbir $f(x)=y$ fonksiyonu $f(f(x))=f'(x)$ şartını sağlamaz? $f(y)=\frac{dy}{dx}$ diyelim. $dx=\frac{dy}{f(y)}$ şeklinde düzenleyip her iki tarafın integralini alalım $x=\int \frac{dy}{f(y)}$ ifadesini elde ettik. $x$'i karşıya atıp $y$ cinsinden integre edersek $\int (\frac{1}{f(y)}-xy)dy=0$ olur. İntegralin $0$ olabilmesi için $\frac{1}{f(y)}-xy=0$ olmalıdır. Bu durumda düzenlersek $f(y)=\frac{1}{xy}$ olur. Fakat bu yazımda $x$ bağımsız değişken olduğundan her $x,y \in R^+$ için sağlanan bir $f(x)$ fonksiyonu yoktur.<br>
</p>

---

Neden bagimsiz degisken ki, $y$ zaten $x$'e bagli degil mi?

---

Haklisiniz hocam benim yoldan islemler dogru yapildiginda en basa donuluyormus.