Üçgen eşitsizliğini herhangi n tane reel sayı için genişletme.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
41 kez görüntülendi

$a_{1},a_{2},a_{3}......a_{n-1},a_{n} :\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$

Ünlü üçgen eşitsizliği 

$|a_{1}|+|a_{2}|\geq |a_{1}+a_{2}|$

Soru 1:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini ispatlayınız.

Soru 2:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini  $n$  tane reel sayı için ($a_{1},a_{2}.....a_{n}$) "tümevarım" yöntemi ile genişletiniz.Şöyleki;

$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+.......+|a_{n-1}|+|a_{n}|\geq |a_{1}+a_{2}+a_{3}+......+a_{n-1}+a_{n}|$

bu eşitsizliği ispatlayınız.

24, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anıl (6,893 puan) tarafından  soruldu
28, Mart, 2016 Anıl tarafından düzenlendi

Aslında ispatlık pek bir şey yok. Sonuç olarak iki doğru parçasının birleştirildiğinde aldığı en büyük değer $a+b$'dir zaten(İspat illaki gerekiyorsa cosinüs bağıntısından $\theta=\pi$ diyebilirsin.). Bunu diğer çokgenlere de yayabiliriz. Çok matematiksel bir ispat çıkarılabilir mi illaki çıkar ama anlaşılıyor bu şekilde de.

tabi anlaşılıyor sayı negatif veya pozitif olsa toplanıp mutlağı alındıgında tek tek mutlagından kücüktür ama bunu matematıksel olarak ıspatlamak soru zaten. 

sanırım açıyı pi ye götürmekten başka çare yok tam cebirsel bir ispat bulamadım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk olarak $x\in\mathbb R$ için;


Tanım gereği;


$|x|=\max\{x,-x\}$

ve

$|x|\ge 0$,    $|x|=|-x|$

ve

$u\ge |x|\quad \Rightarrow\quad u\ge x\ge -u$

Olduğunu bilelim  ve hatta burada ispatlanacak durumlardan ilk bir kaçını da bilelim , ilk olarak basit üçgen eşitsizliğini ve negatifler için olanı ispatlayalım sonra da genelleştirelim;(http://matkafasi.com/99514)


$|x|=\max\{x,-x\}$  olduğundan

$|x|=\max\{x,-x\}\ge x$

$|x|=\max\{x,-x\}\ge -x\quad \to\quad x\ge -|x|$

Birleştirirsek;

$|x|\ge x\ge -|x|$   olur ve bir $y$ için daha bunu yapalım;


$|y|\ge y\ge -|y|$   , ve sıralı toplayalım;


$|x|+|y|\ge x+y \ge -(|x|+|y|)$  bu da yukardaki bildiğimiz şeylerin 3.sünden dolayı;

$||x|+|y||\ge |x+y|$ ,  $||x|+|y||$  bu herzaman zaten pozitivdir dolayısıyla;

$\star ||x|+|y||\ge |x+y|\quad\equiv\quad |x|+|y|\ge |x+y|$       $\Box$


Bundan dolayı;

$|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|$

$|x|-|y|\le |x-y|$   $\clubsuit$

ve dolayısıyla;

$|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|$    başka bir ifadeyle;


$|x|-|y|\ge -|x-y|$   olur.       $\spadesuit$;



$\clubsuit$   ve   $\spadesuit$  sonuçları birleşirse;

$\star\star \boxed{\boxed{|x-y|\ge |x|-|y|\ge -|x-y|\quad\Rightarrow\quad |x-y|\ge||x|-|y||}}$

Hadi $ |x|+|y|\ge |x+y|$   durumunu genelleştirelim;

Şöyle birşey tanımlayalım; $a_i=\sum s_i=s_0+s_1+s_2+.....+s_i$

$a_i=a_{i-1}+s_i$ olduğu aşikâr;

$ |   a_i   |\le |a_{i-1}|+|s_{i}| \le |a_{i-2}|+|s_{i-1}|+|s_i|\le .......\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|$

Yani;

$\boxed{\left|\displaystyle\sum_{k=0}^i s_k\right|\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|}$     Q.E.D.   $\Box$

9, Aralık, 2016 Anıl (6,893 puan) tarafından  cevaplandı
Alınan yol toplamı, yerdeğişiminden büyük veya eşittir.İspatlayalım
...