Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

Herhangi  a,b,c reel sayıları için |ab(a2b2)+bc(b2c2)+ca(c2a2)|M(a2+b2+c2)2

eşitsizliğini doğru yapan en küçük M sayısını bulun.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1k kez görüntülendi

Kaynak: 2006 IMO, Problem 3.

3 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme


Warning: imagecreatetruecolor() [function.imagecreatetruecolor]: Invalid image dimensions in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 145

Warning: imagecolorallocate() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 146

Warning: imagefill() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 147
image

(1.8k puan) tarafından 
Son kısmı da ekleyelim. Çözümün tam olması için eşitlik durumu analizi de yapılmalıdır. Eşitlik durumu (a,b,c)=(1,132,1+32) üçlüleri, bunların katları veya permütasyonları ile elde edilebilir.
2 beğenilme 0 beğenilmeme

yavuzkiremici nin çözümü:

ab(a2b2)+bc(b2c2)+ac(c2a2) açıp tekrar düzenlersek (ac)(ab)(bc)(a+b+c) eşit olduğunu görürüz.

(ac)(ba)((ac)+(ba)2)2=(bc)24A.OG.O

(ac)+(ba)2[(ac)2+(bc)22]12 Kuvvet ??

(bc)22[(ac)2+(ba)2+(bc)2] bulunur. Her iki tarafa 2(bc)2 eklersek

3(bc)22[(ac)2+(ba)2+(bc)2]

|(ac)(ab)(bc)(a+b+c)|14(bc)3(a+b+c) our. (bc)2 bildiğimiz için eşitsizliğin sağ tarafının önce karesini alıp sonra karekök alalım

|(ac)(ab)(bc)(a+b+c)|14(bc)6(a+b+c)2

 =14(2[(ba)2+(ac)2+(cb)2]3)3(a+b+c)2

=22(4((ba)2+(ac)2+(cb)23)3(a+b+c)2)2

4 terim olduğu için önce kare kökünü sonra sonra karesini aldık tekrar

22[14(ba)2+14(ac)2+14(cb)2+14(a+b+c)2]2 Ağırlıklı AO GO

232[(ba)2+(ac)2+(cb)2+(a+b+c)2]2

açarsak

232(3(a+b+c)2)2

=9232(a2+b2+c2)2

M=9232 bulunur.


(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

bir yerlerde hata yapmış olabilirim ama 9 kök2/32 buldum ama buraya yazmam çok kolay değil ancak fotoğrafını upload edebilirim

(1.8k puan) tarafından 
20,288 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,612,591 kullanıcı