yavuzkiremici nin çözümü:
ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ac(c2−a2) açıp tekrar düzenlersek (a−c)(a−b)(b−c)(a+b+c) eşit olduğunu görürüz.
(a−c)(b−a)≤((a−c)+(b−a)2)2=(b−c)24A.O≥G.O
(a−c)+(b−a)2≤[(a−c)2+(b−c)22]12 Kuvvet ??
(b−c)2≤2[(a−c)2+(b−a)2+(b−c)2] bulunur. Her iki tarafa 2(b−c)2 eklersek
3(b−c)2≤2[(a−c)2+(b−a)2+(b−c)2]
|(a−c)(a−b)(b−c)(a+b+c)|≤14(b−c)3(a+b+c) our. (b−c)2 bildiğimiz için eşitsizliğin sağ tarafının önce karesini alıp sonra karekök alalım
|(a−c)(a−b)(b−c)(a+b+c)|≤14√(b−c)6(a+b+c)2
=14√(2[(b−a)2+(a−c)2+(c−b)2]3)3(a+b+c)2
=√22(4√((b−a)2+(a−c)2+(c−b)23)3(a+b+c)2)2
4 terim olduğu için önce kare kökünü sonra sonra karesini aldık tekrar
≤√22[14(b−a)2+14(a−c)2+14(c−b)2+14(a+b+c)2]2 Ağırlıklı AO≥ GO
≤√232[(b−a)2+(a−c)2+(c−b)2+(a+b+c)2]2
açarsak
≤√232(3(a+b+c)2)2
=9√232(a2+b2+c2)2
M=9√232 bulunur.