Tüm kenar uzunlukları bilinen üçgenin alan ispatı $A(ABC)=\sqrt{\dfrac{s}{2}.(\dfrac{s}{2}-a)(\dfrac{s}{2}-b)(\dfrac{s}{2}-c)}$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

Tüm kenar uzunlukları bilinen üçgenin alanını bulmak için kullanılan yöntemlerden biride şudur;

Eğer  bir üçgenin kenar uzunları $a,b,c$,  kenarlar toplamı $s=a+b+c$

ve köşeleri $A,B,C$  ise $A(ABC)=\sqrt{\dfrac{s}{2}.(\dfrac{s}{2}-a)(\dfrac{s}{2}-b)(\dfrac{s}{2}-c)}$ bunun mantığı nedir? nasıl formüle edilmiştir?

ve yeri gelmişken söylüyeyim  $A$ , $B$  ve  $C$ köşelerinin kordinatları biliniyorsa Matris-Determinant yöntemi ile de üçgen alanı hesaplanabiliyor ama nasıl hangi mantıkla?


Matris-Determinant için genel çözüm.


$A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ olsun  ve alt alta yazıp determinantını alırsak

hangi mantıkla alanı bulabiliyoruz?

dipçe:bu hesapların hepsini tabikide biliyorum ama en temel mantığı nedir ezberden değil anlayarak ve kavrayarak....



24, Mart, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Anıl (6,893 puan) tarafından  soruldu
24, Mart, 2016 Anıl tarafından düzenlendi

Cebirsel bir eşitlik.Pek bir detayli bir mantigi yok.

http://m.youtube.com/watch?v=eIB7DjVPSJk

teşekkür ederim , peki determinant la ilgili varmı bilginiz aslında genel olarak determinant tam olarak ne işe yarıyor. aslında böyle bir soru sorabılırım.

Bu sorunun aynisi sorulmustu ve ben de cevaplamistim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Öncelikle ifadeyi düzenlersek $\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}=\frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$ eşitliğini elde ederiz. Cosinüs bağıntısından $c^2=a^2+b^2-2ab.cos\theta$ denkleminde $cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ olur. $sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}$ olduğundan $sin\theta=\sqrt{1-\frac{(a^4+b^4+c^4)-2(a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2)}{4a^2b^2}}=\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{4a^2b^2}}$ olur. Sinüs bağıntısından $S=\frac{ab.sin\theta}{2}$ olduğundan $S=\frac{ab}{2}.\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{4a^2b^2}}=\frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$ olur ve bu en baştaki $S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}$ ifadesine eşittir.

24, Mart, 2016 sonelektrikbukucu (2,858 puan) tarafından  cevaplandı
24, Mart, 2016 Anıl tarafından seçilmiş

peki kosinüs bağıntısını ispatlayınız.http://matkafasi.com/66241/cosinus-bagintisini-ispatlayiniz

ve ispatınız dairesel olmuş , daha temel bir ispat olabilir yukardaki dexorun yorumundakı gibi.Teşekkürler iyi çalışmalar.

Dairesel derken sinus cosinus mu kastediliyor? Galiba dik ucgenden cikiyordu su anda telefondayim aksam cevapsizsa bilgisayardan yazayim.
...