Bir fonksiyonla her noktada aynı değeri alan başka bir fonksiyon bulma

Question

$f$ : $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu verilmiş olsun. Her $ x \in \mathbb{R}$ için $f$ ile aynı değeri alan 'başka' bir $g$ fonksiyonu bulabilir miyiz?

$ Örnek :$ $f(x) = \underset{n\rightarrow\infty}{lim}(1 + \frac{x}{n})^n$ fonksiyonu ile $g(x) =  \underset{n\rightarrow\infty}{lim} \sum_{i=0}^{n} \frac{xî}{i!}$ fonksiyonlarının ikisi de verilmiş bir $x$ için $e^x$ değerini alırlar.

$Soru 1)$ Her noktada $sin(x)$ fonksiyonu ile aynı değeri alan bir fonksiyon bulun.

$Soru2)$  

$2.1)$Her $f$ fonksiyonu için böyle bir $g$ fonksiyonu bulabilir miyiz? 

$2.2)$Bulabilirsek nasıl? 

$2.3)$Bulamıyorsak neden bulamıyoruz ve hangi $f$'ler için bulabiliriz?

$Not :$ Tabii ki $f(x) = x^2$ ve $g(x) = (-x)^2$ veya $\left|f(x)\right|$ ve $\sqrt{f(x)^2}$ gibi fonksiyonları örnek verebiliriz ancak bu mızıkçılık sayılır.

Comments

Boyleden kastin nedir? $f(x)$'i her zaman taylor serisi olarak yazabilir miyiz olsa biraz kisitli olur fakat sondaki mizikcilik olarak kastettiklerine acik bir soru bu.

---

$f(x)$'i her zaman Taylor serisi olarak yazabilir miyiz diye soracaktim basta, genellestireyim dedim. Taylor serisi kullanmadan da $f$ ile ayni degerleri alan $g$ fonksiyonu bulabilir miyiz bilmiyorum.

---

Taylor serisi için sorun yeterince ilginç. 

Hiç kısıtlamasız, her fonksiyon için, bir sürü "nerdeyse mızıkçıkılık" şeklinde cevap var:

$g(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f(x)+\frac xn\right)$ gibi.