iki vektörün liner bağımlılığı

Question

   Herkese merhaba. Elimde İngilizce bir soru var orjinalini görmek istersiniz diye İngilizcesini atıyorum altına da kabaca çevirisini yapacağım. Şimdiden teşekkürler iyi çalışmalar.

görselin büyüklüsü

 u1,u2,u3 vektörleri liner bağımlı vektörlerdir. v1 = 2(u1) + u2   ve   v2= 2(u2) + u3 vektörlerinin liner bağımlılığı hakkında ne söylenebilir?

Answer 1

Verilen vektörler lineeer bağımlı olduklarından ,$r_1,r_2,r_3\in R$ olmak üzere $r_1\vec{u_1}+r_2\vec{u_2}+r_3\vec{u_3}=\vec 0$ olması ,en az bir $r_i\neq0$ için gerçekleşiyor demektir.($1\leq i\leq3$)

$k_1,k_2\in R$ olmak üzere ;$k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}=\vec 0\Rightarrow$  $k_1(2\vec{u_1}+\vec{u_2})+k_2(2\vec{u_2}+\vec{u_3})=\vec{ 0}$

$2 k_1\vec{u_1}+(k_1+2k_2)\vec{u_2}+k_2\vec{u_3})=\vec{ 0}$ Eğer $r_1=2k_1,r_2=k_1+2k_2,r_3=k_2$ olarak alınırsa $k_1$ ya da $k_2$ den en az birisi sıfırdan farklı olmak zorundadır. Dolayısıyla $\vec{v_1},\vec{v_2}$ vetörleri lineer olarak bağımlıdır.

NOT: Yukarıdaki çözüm $\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}$ vektörlerinin üçü birden sıfırdan farklı iken geçerlidir.

Comments

Cevabınız için çok teşekkür ederim bu sonuca ben de ulaştım fakat anlayamadığım şekilde "liner bağımsız olduğu durumlar da var" denildi. Bununla ilgili bir cevabınız varsa lütfen bilgilendiriniz.

---

Evet .Lineer bağımsız olduğu durumlarda söz konusu olmaktadır. Sayın DoganDonmez hocanın uyarısıyla, $\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}$ dan herhangi birisi sıfır ise lineer bağımsız olabilirler. Böyle olunca $\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}$ vektörleri hakında özelliklede sıfır olup olmadıkları ile ilgili bilgi olmazsa sonuç hakkında kesin birşey söylenemez. 

---

Tam anlamadım acaba örnek ispat verebilir misiniz ? Hangi vektörü veya vektörleri sıfır vektör kabul edeceğimi bulamadım . Teşekkürler.

---

Kısaca : 

$v_1,v_2$ nin lineer bağımsız olup olmadığı için genel (ve kesin doğru) bir şey söylenemez.

 Bazı $u_1,u_2,u_3$ ler için $v_1,v_2$ lineer bağımlı, bazı $u_1,u_2,u_3$ ler için $v_1,v_2$ lineer bağımsıdır

---

görsel linki

Hocam ben böyle bir çözüm yaptım. Liner bağımsızlıkla ilgili kısımdan tam emin olamadım aslında yaparken.

---

$u_1,u_2,u_3$ lineer bağımsız olmadığı için 

$2d\vec{u_1}+\cdots=a\vec{u_1}+\cdots$  eşitliğinden $2d=a$ sonucuna varamayız.

---

anladım teşekkürler