Question

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1/x)}{\sin(1/x)}$$ limitini bulunuz.

Comments

Hocam sonuç zaten direkt olarak 1 yapmiyor mu?

---

Yapıyor mu? Yapmıyor diyenler de var.

---

Yani aslında biraz alengirli gidiyorum sanirim ama hocam $\frac{1}{u}=x$ dersek.

$lim_{u\to\infty} \frac{sin(u)}{sin(u)}$ geliyor.Buradan da sonuç 1 gelmez mi?

---

@dexor burada soyle bir gozlem yapmamiz lazim: $0$in etrafinda ne kadar kucuk bir komsuluk alirsan al, bu kucuk komsuluk icinde fonksiyonun patladigi (paydanin sifir oldugu) sonsuz coklukta deger var. Bunu nasil cozeriz ben de bilmiyorum.

---

Bence de Sercan ın asıl dikkat çekmek istediği nokta, Ozgur ün yazdığı nokta olmalı.

Bu fonksiyon, 0 ın hiç bir komşuluğunda (0 dışında) tanımlı değil. Bu koşul lise/lisans 1. sınıfta limit tanımlarken (limitin TEK olmasını garanti etmek için) aranır ama, gereğinden biraz fazla bir kısıtlamadır. 

Matematik bölümlerindeki daha ileri Analiz ve topoloji derslerinde, bunun yerine TAM GEREKTİĞİ kadar kısıtlayıcı olan: "Limit alınacak noktanın, fonksiyonun tanım kümesinin limit (yığılma) noktası olmasının" (limitin TEK olmasını garanti etmek için ) gerekli ve yeterli olacağı ispatlanır. Limit tanımı (fonksiyonun tanım ve değer kümelerinin her ikisi de metrik uzay olduğunda) aynı şekilde yapılır.

Bu durumda da o koşul sağlanıyor, yani limit sorusu anlamlı ve cevabı da kolayca tahmin edildiği gibi 1.

---

Dogan hocam, bunu cevaba alabilmeniz mumkun mudur?

Answer 1

Bence de Sercan ın asıl dikkat çekmek istediği nokta, Ozgur ün yazdığı nokta olmalı.

Bu fonksiyon, 0 ın hiç bir komşuluğunda (0 dışında) tanımlı değil. Bu koşul lise/lisans 1. sınıfta limit tanımlarken (limitin TEK olmasını garanti etmek için) aranır ama, gereğinden biraz fazla bir kısıtlamadır. 

Matematik bölümlerindeki daha ileri Analiz ve topoloji derslerinde, bunun yerine TAM GEREKTİĞİ kadar kısıtlayıcı olan: "Limit alınacak noktanın, fonksiyonun tanım kümesinin limit (yığılma) noktası olmasının" (limitin TEK olmasını garanti etmek için ) gerekli ve yeterli olacağı ispatlanır. Limit tanımı (fonksiyonun tanım ve değer kümelerinin her ikisi de metrik uzay olduğunda) aynı şekilde yapılır.

Bu durumda da o koşul sağlanıyor, yani limit sorusu anlamlı ve cevabı da kolayca tahmin edildiği gibi 1.

Answer 2

Limit durumunda $x\rightarrow 0$ olması demek $x=0$ demek değildir. $x\rightarrow 0$ demek, ''bir $\delta >0$ için $\left\vert x\right\vert
<\delta $ koşulunu sağlayan tüm $x$ ler için limitin değeri nedir.'' demektir. $x$
in bir delta komşuluğunda
\[
\sin \frac{1}{x}
\]
tanımsız değildir. Bir reel sayıya karşılıkl gelir. Dolayısıyla
\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}=1
\]
olur.

Comments

$x$'in her pozitif komsulugunda $\sin(1/x)$ ifadesini $0$ yapan bir deger vardir. 

Neden? $1/(2\pi n) \to 0$ oldugundan...